Cuboctaedru trunchiat

În geometrie cuboctaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 26 de fețe regulate (12 pătrate, 8 fețe hexagonale și 6 octogonale), 72 de laturi și 48 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru (echivalent, simetrie de rotație de 180°), cuboctaedrul trunchiat este un zonoedru. Împreună cu prisma octogonală, cuboctaedrul trunchiat poate tesela spațiul ca fagure cubic omnitrunchiat.

Cuboctaedru trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru arhimedic (Poliedru uniform)
Fețe	26 (12 pătrate, 8 hexagoane, 6 octogoane)
Laturi (muchii)	72
Vârfuri	48
χ	2
Configurația vârfului	4.6.8
Simbol Wythoff	2 3 4 |
Simbol Schläfli	tr{4,3} sau ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ t0,1,2{4,3}
Simbol Conway	bC sau taC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Oh, B3, [4,3], (*432), ordin 48
Grup de rotație	O, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie	≈ 61,755 a2   (a = latura)
Volum	≈ 41,799 a3   (a = latura)
Unghi diedru	4-6: arccos(−√6/3) = 144° 44′ 08″ 4-8: arccos(−√2/3) = 135° 6-8: arccos(−√3/3) = 125°15′51″
Poliedru dual	Dodecaedru disdiakis
Proprietăți	Poliedru semiregulat (zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

Are indicele de poliedru uniform U₁₁,^[1] indicele Coxeter C₂₃ și indicele Wenninger W₁₅.

Nume alternative

Cuboctaedrul,

trunchierea sa

Numele de cuboctaedrul trunchiat i-a fost dat de Johannes Kepler. Aceste nume poate crea confuzii, deoarece actual prin trunchiere un cuboctaedru are dreptunghiuri în locul pătratelor, însă acel poliedru neuniform este topologic echivalent cu poliedrul arhimedic numit astfel (nu tocmai riguros). Alte nume sunt:

• Cuboctaedru rombitrunchiat (Magnus Wenninger^[2]),
• Cub omnitrunchiat sau cub cantitrunchiat (Norman Johnson),
• Cub teșit (notația Conway a poliedrelor).

Există un poliedru uniform neconvex cu un nume asemănător: marele rombicuboctaedru neconvex.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cuboctaedru trunchiat având lungimea laturii 2 și centrat în origine sunt toate permutările:

${\displaystyle (\pm 1,\pm (1+{\sqrt {2}}),\pm (1+2{\sqrt {2}})}$.

Arie și volum

Aria A și volumul V ale cuboctaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 61.755\,1724~a^{2},\\V&=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}&&\approx 41.798\,9899~a^{3}.\end{aligned}}}$

Divizare

Cuboctaedrul trunchiat este anvelopa convexă a unui rombicuboctaedru cu cuburi deasupra celor 12 pătrate cu axe de simetrie cu două poziții. Restul spațiului său poate fi divizat în 6 cupole pătrate sub octogoane și 8 cupole triunghiulare sub hexagoane.

Un cuboctaedru trunchiat divizat poate crea un toroid Stewart de genul 5, 7 sau 11 prin îndepărtarea rombicuboctaedrului central și fie a celor 6 cupole pătrate, fie a celor 8 cupole triunghiulare sau, respectiv, a celor 12 cuburi. De asemenea, mulți alți toroizi cu simetrie inferioară pot fi construiți prin îndepărtarea rombicuboctaedrului central și a unui subset al celorlalte componente de divizare. De exemplu, îndepărtarea a 4 dintre cupolele triunghiulare creează un toroid de genul 3; dacă aceste cupole sunt alese corespunzător, atunci acest toroid are simetrie tetraedrică.^[3][4]

Toroizi Stewart
Genul 3	Genul 5	Genul 7	Genul 11

Colorare ca poliedru uniform

Colorarea ca poliedru uniform se face cu câte o culoare pentru fiecare tip de față.

Proiecții ortogonale

Cuboctaedrul trunchiat are două proiecții ortogonale speciale în planele Coxeter A₂ și B₂ cu simetriile proiecțiilor [6] și [8], iar numeroase simetrii [2] pot fi construite în diferite plane de proiecție în raport cu elementele poliedrului.

Proiecții ortogonale

Centrate pe	Vârf	Latura 4-6	Latura 4-8	Latura 6-8	Normala feței 4-6
Imagine
Simetria proiecției	[2]+	[2]	[2]	[2]	[2]
Centrate pe	Normala feței pătrate	Normala feței octogonale	Fața pătrată	Fața hexagonală	Fața octogonală
Imagine
Simetria proiecției	[2]	[2]	[2]	[6]	[4]

Pavări sferice

Cuboctaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate pe plan ca arce de cerc.

Proiecție ortogonală	centrată pe pătrat	centrată pe hexagon	centrată pe octogon
	Proiecții stereografice

Grupul octaedric complet

Dual: Dodecaedru disdiakis

La fel ca multe alte poliedre, octaedrul trunchiat are o simetrie octaedrică completă, dar relația sa cu grupul octaedric complet este mai complexă decât aceasta: cele 48 de vârfuri corespund elementelor grupului și fiecare față a dualului său este un domeniu fundamental al grupului.

Imaginea din dreapta arată cele 48 de permutări din grup aplicate unui obiect. Cele 24 de elemente „F” de culoare deschisă sunt rotații, iar cele de culoare închisă sunt reflexiile lor.

Laturile poliedrului corespund celor 9 reflexii din grup:

• Cele dintre octogoane și pătrate corespund celor 3 reflexii dintre octogoanele opuse.
• Laturile hexagonale corespund celor 6 reflexii dintre pătratele opuse.
• (Nu există reflexii între hexagoanele opuse.)

Subgrupurile corespund poliedrelor care au în comun vârfurile respective cu cele ale octaedrului trunchiat.
De exemplu, cele 3 subgrupuri cu 24 de elemente corespund unui cub snub neuniform cu simetrie octaedrică chirală, unui rombicuboctaedru neuniform cu simetrie piritoedrică (octaedrul snub cantic) și unui octaedru trunchiat neuniform cu simetrie tetraedrică completă. Subgrupul unic cu 12 elemente este grupul altern A₄. Acesta corespunde unui icosaedru neuniform cu simetrie tetraedrică chirală.

Subgrupuri și poliedrele corespondente
Cuboctaedru trunchiat tr{4,3}	Cub snub sr{4,3}	Rombicuboctaedru s2{3,4}	Octaedru trunchiat h1,2{4,3}	Icosaedru
[4,3] Octaedrică completă	[4,3]+ Octaedrică chirală	[4,3+] Simetrie piritoedrică	[1+,4,3] = [3,3] Tetraedrică completă	[1+,4,3+] = [3,3]+ Tetraedrică chirală
toate 48 vârfuri	24 vârfuri			12 vârfuri

Poliedre înrudite

Tetraedrul și cubul „papion” conțin două fețe trapezoidale în locul fiecărui pătrat.[5]

Cuboctaedrul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme     v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele celor de mai sus
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu configurația vârfului (4.6.2p) și diagrama Coxeter–Dynkin . Pentru p < 6, membrii secvenței sunt poliedre omnitrunchiate (zonoedre), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru p < 6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu pavare triheptagonală trunchiată.

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n32: 4.6.2n
Simetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paraco.	Hiperbolice necompacte
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Imagini
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duale
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n42: 4.8.2n
Simetrie *n42 [n,3]	Sferice		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Figuri omnitrunchiate	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Duale omnitrunchiate	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Este primul dintr-o serie de hipercuburi cantitrunchiate.

Poligoane Petrie

Cuboctaedru trunchiat	Tesseract cantitrunchiat	5-cub cantitrunchiat	6-cub cantitrunchiat	7-cub cantitrunchiat	8-cub cantitrunchiat

Note

1. en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
2. en Wenninger, Magnus (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 (Model 15, p. 29)
3. en B. M. Stewart (1970), Adventures Among the Toroids, ISBN: 978-0-686-11936-4
4. en Doskey, Alex. „Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1”. www.doskey.com.
5. en Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons Arhivat în 17 martie 2017, la Wayback Machine. Craig S. Kaplan

Bibliografie

• en Cromwell, P. (1997). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• Materiale media legate de cuboctaedru trunchiat la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Great rhombicuboctahedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Great rhombicuboctahedral graph la MathWorld.
• en Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view
• en The Uniform Polyhedra
• en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• en Great rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting Arhivat în 2 iunie 2008, la Wayback Machine.

	Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: girco