Cupolă pătrată

În geometrie cupola pătrată este o cupolă la care fața opusă bazei este un pătrat, iar baza este un octogon. Este poliedrul Johnson J₄. Poate fi obținută prin divizarea unui rombicuboctaedru. Având 10 fețe, este un decaedru.

Cupolă pătrată
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru Johnson J3 – J4 – J5
Fețe	10 (4 triunghiuri echilaterale,       5 pătrate,       1 octogon regulat)
Laturi (muchii)	20
Vârfuri	12
χ	2
Configurația vârfului	8 (3.4.8); 4 (3.4.4.4)
Grup de simetrie	C4v, [4], (*44), ordin 8
Arie	≈ 11,560 a2   (a = latura)
Volum	≈   1,943 a3   (a = latura)
Proprietăți	convexă
Desfășurată

Mărimi asociate

Următoarele formule pentru înălțime h, arie A, volum V și raza sferei circumscrise R sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:^[1][2]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0,707106\,a\,,}$

${\displaystyle A=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11,560477\,a^{2},}$

${\displaystyle V=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\approx 1,942809\,a^{3},}$

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}\,a\approx 1,398966\,a.}$

Poliedre și faguri înrudiți

Poliedru dual

Dualul cupolei pătrate are 8 fețe triunghiulare și 4 fețe romboidale:

Dualul cupolei pătrate	Desfășurata dualului	model 3D

Alte cupole convexe

Familia cupolelor convexe

n	2	3	4	5	6
Schläfli	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
Cupolă	Cupolă digonală	Cupolă triunghiulară	Cupolă pătrată	Cupolă pentagonală	Cupolă hexagonală (plată)
Poliedre uniforme înrudite	Prismă triunghiulară	Cubocta- edru	Rombi- cubocta- edru	Romb- icosidodeca- edru	Pavare rombi- trihexagonală

Cupolă pătrată autointersectată

Model 3D al cupolei pătrate autointersectate

Cupola pătrată autointersectată este unul dintre izomorfele neconvexe ale poliedrelor Johnson, fiind identică din punct de vedere topologic cu cupola pătrată convexă. Poate fi obținută prin divizarea marelui rombicuboctaedru neconvex sau cvasirombicuboctaedrului, la fel cum cupola pătrată poate fi obținută prin divizarea rombicuboctaedrului. Ca în toate cupolele, baza are de două ori mai multe laturi și vârfuri decât fața opusă bazei. Poligonul bazei este o octagramă.

Poate fi văzută ca o cupolă cu o bază pătrată retrogradă, astfel încât pătratele și triunghiurile se conectează la bază în sens opus cupolei pătrate, astfel intersectându-se.

Faguri

Cupola pătrată este o componentă a mai multor rețele neuniforme de umplere a spațiului:

• cu tetraedre;
• cu cuburi și cuboctaedre; și
• cu tetraedre, piramide pătrate și diverse combinații de cuburi, piramide pătrate alungite și bipiramide pătrate alungite.^[3]

Note

1. en Wolfram Research, Inc. (2020). „Wolfram|Alpha Knowledgebase”. Champaign, IL. PolyhedronData[{"Johnson", 4}]
2. es Sapiña, R. „Area and volume of the Johnson solid J₄”. Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Accesat în 16 iulie 2020.
3. en „J4 honeycomb”.

Legături externe

	Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Square cupola la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Johnson solid la MathWorld.