From Wikipedia, the free encyclopedia
Un poliedru uniform are poligoane regulate ca fețe și este tranzitiv pe vârfuri (adică, există o izometrie care aplică orice vârf pe oricare altul). Rezultă că toate vârfurile sunt congruente.
Poliedrele uniforme pot fi regulate (dacă sunt și tranzitive pe fețe și muchii), cvasiregulate (dacă sunt tranzitive pe muchii, dar nu și pe fețe) sau semiregulate (dacă nu sunt tranzitive nici pe muchii, nici pe fețe). Fețele și vârfurile nu trebuie să fie convexe, așa că multe dintre poliedrele uniforme sunt și poliedre stelate.
Există două clase infinite de poliedre uniforme, împreună cu alte 75 de poliedre:
Există, de asemenea, multe poliedre uniforme degenerate, cu perechi de muchii care coincid, inclusiv unul găsit de John Skilling numit marele dirombidodecaedru disnub (figura lui Skilling).
Poliedrele duale ale poliedrelor uniforme sunt tranzitive pe fețe (izoedrice) și au figurile vârfurilor regulate, și sunt în general clasificate în paralel cu poliedrul lor dual (uniform). Dualul unui poliedru regulat este regulat, în timp ce dualul unui poliedru arhimedic este un poliedru Catalan.
Conceptul de poliedru uniform este un caz special al conceptului de politop uniform, care se aplică și formelor din spațiile din dimensiuni superioare (sau din dimensiuni inferioare).
Păcatul originar din teoria poliedrelor începe cu Euclid și prin Kepler, Poinsot, Cauchy și mulți alții continuă să afecteze toate lucrările pe această temă (inclusiv cele ale autorului de față). Provine din faptul că utilizarea tradițională a termenului „poliedre regulate” a fost, și este, contrară sintaxei și logicii: cuvintele par să sugereze că avem de-a face cu obiecte pe care le numim „poliedre”, cu acele cazuri particulare care merită să fie numite „regulate”. Dar în fiecare etapă — Euclid, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner, ... — autorii nu au reușit să definească ce sunt „poliedrele” printre care se găsesc cele „regulate”.
Branko Grünbaum (1994) |
Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954) definesc poliedrele uniforme drept poliedre tranzitive pe vârfuri, cu fețe regulate. Ei definesc un poliedru ca fiind o mulțime finită de poligoane astfel încât fiecare latură a unui poligon să fie o latură a doar unui alt poligon, astfel încât nicio submulțime proprie nevidă a poligoanelor să aibă aceeași proprietate. Prin poligon se înțelege implicit un poligon în spațiul euclidian tridimensional; acestora le este permis să fie dispuse într-o formă neconvexă și să se intersecteze unul cu altul.
Există câteva generalizări ale conceptului de poliedru uniform. Dacă se renunță la presupunerea de conectivitate, atunci se obțin compuși uniformi, care pot fi considerați ca o reuniune de poliedre, cum ar fi compusul de cinci cuburi. Dacă se renunță la condiția ca realizarea poliedrului să nu fie degenerată, atunci se obține așa-numitul poliedru degenerat uniform. Acestea necesită o definiție mai generală a poliedrelor. Grünbaum (1994) a dat o definiție destul de complicată a unui poliedru, în timp ce McMullen & Schulte (2002) a dat o definiție mai simplă și mai generală a unui poliedru: în terminologia lor, un poliedru este un politop abstract bidimensional cu o realizare tridimensională nedegenerată. Aici un politop abstract este o poziție a „fețelor” sale care îndeplinește diferite condiții, o realizare este o funcție a vârfurilor sale într-un anumit spațiu, iar realizarea se numește nedegenerată dacă oricare două fețe distincte ale politopului abstract au realizări distincte.
Unele dintre modalitățile prin care pot degenera sunt următoarele:
Cele 57 de forme neconvexe neprismatice, cu excepția marelui dirombicosidodecaedru, sunt compilate după construcțiile Wythoff din triunghiurile Schwarz.
Poliedrele uniforme convexe pot fi denumite după operațiile construcției Wythoff în forme regulate.
Mai detaliat, poliedrul uniform convex este dat mai jos de construcția Wythoff în cadrul fiecărui grup de simetrie.
În cadrul construcției Wythoff, există repetări create de forme cu simetrie inferioară. Cubul este atât un poliedru regulat cât și o prismă pătrată. Octaedrul este un poliedru regulat și o antiprismă triunghiulară. Octaedrul este, de asemenea, un tetraedru rectificat. Multe poliedre apar repetat, din diferite surse de construcție și sunt colorate diferit.
Construcția Wythoff se aplică în mod egal poliedrelor uniforme și pavărilor uniforme ale suprafeței unei sfere, deci sunt date imagini ale ambelor. Pavările sferice incluzând mulțimile de hosoedre și diedre, care sunt poliedre degenerate.
Aceste grupuri de simetrie sunt formate din reflexiile grupurilor de puncte în spațiul tridimensional, fiecare reprezentat printr-un triunghi fundamental (p q r), unde p > 1, q > 1, r > 1 și 1/p + 1/q + 1/r < 1.
Restul formelor nereflexive sunt construite prin operațiuni de alternare aplicate poliedrelor cu un număr par de muchii.
Împreună cu prismele și simetria diedrală a acestora, procesul de construcție sferic Wythoff adaugă două clase regulate care devin degenerate ca poliedre: diedrele și hosoedrele, prima având doar două fețe, iar a doua doar două vârfuri. Trunchierea hosoedrelor regulate creează prismele.
Dedesubt, poliedrele uniforme convexe sunt numerotate 1–18 pentru formele neprismatice așa cum sunt prezentate în tabele prin forma de simetrie.
Pentru setul infinit de forme prismatice, acestea sunt grupate în patru familii:
Nume Johnson | Inițial | Trunchiat | Rectificat | Bitrunchiat (dual tr.) |
Birectificat (dual) |
Cantelat | Omnitrunchiat (cantitrunchiat) |
Snub |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagramă Coxeter | ||||||||
Simbol Schläfli extins |
||||||||
{p,q} | t{p,q} | r{p,q} | 2t{p,q} | 2r{p,q} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} | |
t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | ht0,1,2{p,q} | |
Simbol Wythoff (p q 2) |
q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 |
Figura vârfului | pq | q.2p.2p | (p.q)2 | p.2q.2q | qp | p.4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p.3.q |
Tetraedrică (3 3 2) |
3.3.3 |
3.6.6 |
3.3.3.3 |
3.6.6 |
3.3.3 |
3.4.3.4 |
4.6.6 |
3.3.3.3.3 |
Octaedrică (4 3 2) |
4.4.4 |
3.8.8 |
3.4.3.4 |
4.6.6 |
3.3.3.3 |
3.4.4.4 |
4.6.8 |
3.3.3.3.4 |
Icosaedrică (5 3 2) |
5.5.5 |
3.10.10 |
3.5.3.5 |
5.6.6 |
3.3.3.3.3 |
3.4.5.4 |
4.6.10 |
3.3.3.3.5 |
Sfera nu este tăiată, doar pavarea este tăiată. Pe o sferă, o muchie este un arc de cerc mare, cea mai scurtă cale între cele două vârfuri ale sale. Prin urmare, un digon ale cărui vârfuri nu sunt opuse polar este plat: arată ca o muchie.
(p 2 2) | Inițial | Trunchiat | Rectificat | Bitrunchiat (dual tr.) |
Birectificat (dual) |
Cantelat | Omnitrunchiat (cantitrunchiat) |
Snub |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diagramă Coxeter | ||||||||
Simbol Schläfli extins |
||||||||
{p,2} | t{p,2} | r{p,2} | 2t{p,2} | 2r{p,2} | rr{p,2} | tr{p,2} | sr{p,2} | |
t0{p,2} | t0,1{p,2} | t1{p,2} | t1,2{p,2} | t2{p,2} | t0,2{p,2} | t0,1,2{p,2} | ht0,1,2{p,2} | |
Simbol Wythoff | 2 | p 2 | 2 2 | p | 2 | p 2 | 2 p | 2 | p | 2 2 | p 2 | 2 | p 2 2 | | | p 2 2 |
Figura vârfului | p2 | 2.2p.2p | p.2.p.2 | p.4.4 | 2p | p.4.2.4 | 4.2p.4 | 3.3.3.p |
Diedrală (2 2 2) |
{2,2} |
2.4.4 |
2.2.2.2 |
4.4.2 |
2.2 |
2.4.2.4 |
4.4.4 |
3.3.3.2 |
Diedrală (3 2 2) |
3.3 |
2.6.6 |
2.3.2.3 |
4.4.3 |
2.2.2 |
2.4.3.4 |
4.4.6 |
3.3.3.3 |
Diedrală (4 2 2) |
4.4 |
2.8.8 | 2.4.2.4 |
4.4.4 |
2.2.2.2 |
2.4.4.4 |
4.4.8 |
3.3.3.4 |
Diedrală (5 2 2) |
5.5 |
2.10.10 | 2.5.2.5 |
4.4.5 |
2.2.2.2.2 |
2.4.5.4 |
4.4.10 |
3.3.3.5 |
Diedrală (6 2 2) |
6.6 |
2.12.12 |
2.6.2.6 |
4.4.6 |
2.2.2.2.2.2 |
2.4.6.4 |
4.4.12 |
3.3.3.6 |
Simetria tetraedrică a sferei generează 5 poliedre uniforme și o a 6-a formă printr-o operație snub.
Simetria tetraedrică este reprezentată de un triunghi fundamental cu un vârf cu două oglindiri și două vârfuri cu trei oglindiri, reprezentate de simbolul (3 3 2). Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter A2 sau [3,3], sau de o diagramă Coxeter: .
Există 24 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele hexaedrului tetrakis și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Graf A3 |
Graf A2 |
Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [3] (4) |
Poz. 1 [2] (6) |
Poz. 0 [3] (4) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||||
1 | Tetraedru | {3,3} |
{3} |
4 | 6 | 4 | |||||||
[1] | Tetraedru birectificat (tetraedru) |
t2{3,3}={3,3} |
{3} |
4 | 6 | 4 | |||||||
2 | Tetraedru rectificat, Tetratetraedru (octaedru) |
t1{3,3}=r{3,3} |
{3} |
{3} |
8 | 12 | 6 | ||||||
3 | Tetraedru trunchiat | t0,1{3,3}=t{3,3} |
{6} |
{3} |
8 | 18 | 12 | ||||||
[3] | Tetraedru bitrunchiat (tetraedru trunchiat) |
t1,2{3,3}=t{3,3} |
{3} |
{6} |
8 | 18 | 12 | ||||||
4 | Tetraedru cantelat, Rombitetratetraedru (cuboctaedru) |
t0,2{3,3}=rr{3,3} |
{3} |
{4} |
{3} |
14 | 24 | 12 | |||||
5 | Tetraedru omnitrunchiat, Tetratetraedru trunchiat (octaedru trunchiat) |
t0,1,2{3,3}=tr{3,3} |
{6} |
{4} |
{6} |
14 | 36 | 24 | |||||
6 | Tetratetraedru snub (icosaedru) |
sr{3,3} |
{3} |
2 {3} |
{3} |
20 | 30 | 12 |
Simetria octaedrică a sferei generează 7 poliedre uniforme și alt 7 prin alternare. Șase din aceste forme sunt repetări ale simetriei tetraedrice din tabelul anterior.
Simetria octaedrică este reprezentată de un triunghi fundamental (4 3 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter B2 sau [4,3], sau de o diagramă Coxeter: .
Există 48 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele dodecaedrului disdiakis și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Graf B3 |
Graf B2 |
Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [4] (6) |
Poz. 1 [2] (12) |
Poz. 0 [3] (8) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||||
7 | Cub | {4,3} |
{4} |
6 | 12 | 8 | |||||||
[2] | Octaedru | {3,4} |
{3} |
8 | 12 | 6 | |||||||
[4] | Cub rectificat, Octaedru rectificat (cuboctaedru) |
{4,3} |
{4} |
{3} |
14 | 24 | 12 | ||||||
8 | Cub trunchiat | t0,1{4,3}=t{4,3} |
{8} |
{3} |
14 | 36 | 24 | ||||||
[5] | Octaedru trunchiat | t0,1{3,4}=t{3,4} |
{4} |
{6} |
14 | 36 | 24 | ||||||
9 | Cub cantelat, Octaedru cantelat, Rombicuboctaedru |
t0,2{4,3}=rr{4,3} |
{4} |
{4} |
{3} |
26 | 48 | 24 | |||||
10 | Cub omnitrunchiat, Octaedru omnitrunchiat, Cuboctaedru trunchiat |
t0,1,2{4,3}=tr{4,3} |
{8} |
{4} |
{6} |
26 | 72 | 48 | |||||
[6] | Octaedru snub (icosaedru) |
= s{3,4}=sr{3,3} |
{3} |
{3} |
20 | 30 | 12 | ||||||
[1] | Semicub (tetraedru) |
= h{4,3}={3,3} |
1/2 {3} |
4 | 6 | 4 | |||||||
[2] | Cub cantic (tetraedru trunchiat) |
= h2{4,3}=t{3,3} |
1/2 {6} |
1/2 {3} |
8 | 18 | 12 | ||||||
[4] | (cuboctaedru) | = rr{3,3} |
14 | 24 | 12 | ||||||||
[5] | (octaedru trunchiat) | = tr{3,3} |
14 | 36 | 24 | ||||||||
[9] | Octaedru cantic snub (rombicuboctaedru) |
s2{3,4}=rr{3,4} |
26 | 48 | 24 | ||||||||
11 | Cuboctaedru snub | sr{4,3} |
{4} |
2 {3} |
{3} |
38 | 60 | 24 |
Simetria icosaedrică a sferei generează 7 poliedre uniforme și încă 1 prin alternare. Doar unul este o repetare a simetriei tetraedrice și octaedriece din tabelele anterioare.
Simetria icosaedrică este reprezentată de un triunghi fundamental (5 3 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter G2 sau [5,3], sau de o diagramă Coxeter: .
Există 120 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele triacontaedrului disdiakis și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Graf (A2) [6] |
Graf (H3) [10] |
Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [5] (12) |
Poz. 1 [2] (30) |
Poz. 0 [3] (20) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||||
12 | Dodecaedru | {5,3} |
{5} |
12 | 30 | 20 | |||||||
[6] | Icosaedru | {3,5} |
{3} |
20 | 30 | 12 | |||||||
13 | Dodecaedru rectificat, Icosaedru rectificat, Icosidodecaedru |
t1{5,3}=r{5,3} |
{5} |
{3} |
32 | 60 | 30 | ||||||
14 | Dodecaedru trunchiat | t0,1{5,3}=t{5,3} |
{10} |
{3} |
32 | 90 | 60 | ||||||
15 | Icosaedru trunchiat | t0,1{3,5}=t{3,5} |
{5} |
{6} |
32 | 90 | 60 | ||||||
16 | Dodecaedru cantelat, Icosaedru cantelat, Rombicosidodecaedru |
t0,2{5,3}=rr{5,3} |
{5} |
{4} |
{3} |
62 | 120 | 60 | |||||
17 | Dodecaedru omnitrunchiat, Icosaedru omnitrunchiat, Icosidodecaedru trunchiat |
t0,1,2{5,3}=tr{5,3} |
{10} |
{4} |
{6} |
62 | 180 | 120 | |||||
18 | Icosidodecaedru snub | sr{5,3} |
{5} |
2 {3} |
{3} |
92 | 150 | 60 |
Simetria diedrală a sferei generează două mulțimi infinite de poliedre uniforme, prisme și antiprisme și alte două mulțimi infinite de poliedre degenerate, hosoedrele și diedrele care există ca pavări pe sferă.
Simetria diedrală este reprezentată de triunghiul fundamental (p 2 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentat de grupul Coxeter I2(p) sau [n,2], precum și de o diagramă Coxeter prismatică: .
Mai jos sunt primele cinci simetrii diedrale: D2 ... D6. Simetria diedrală Dp are ordinul 4n, reprezintă fețele unei bipiramide, iar pe ecuatorul unei sfere un cerc de longitudine cu n arce de longitudine la distanțe egale.
Există 8 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei pătrate (octaedru) și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [2] (2) |
Poz. 1 [2] (2) |
Poz. 0 [2] (2) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||
D2 H2 |
Diedru digonal, hosoedru digonal |
{2,2} |
{2} |
2 | 2 | 2 | |||||
D4 | Diedru digonal trunchiat (diedru pătrat) |
t{2,2}={4,2} |
{4} |
2 | 4 | 4 | |||||
P4 [7] |
Diedru digonal omnitrunchiat (cub) |
t0,1,2{2,2}=tr{2,2} |
{4} |
{4}] |
{4} |
6 | 12 | 8 | |||
A2 [1] |
Diedru digonal snub (tetraedru) |
sr{2,2} |
2 {3} |
4 | 6 | 4 |
Există 12 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei hexagonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [3] (2) |
Poz. 1 [2] (3) |
Poz. 0 [2] (3) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||
D3 | Diedru trigonal | {3,2} |
{3} |
2 | 3 | 3 | |||||
H3 | Hosoedru trigonal | {2,3} |
{2} |
3 | 3 | 2 | |||||
D6 | Diedru trigonal trunchiat (diedru hexagonal) |
t{3,2} |
{6} |
2 | 6 | 6 | |||||
P3 | Hosoedru trigonal trunchiat (prismă triunghiulară) |
t{2,3} |
{3} |
{4} |
5 | 9 | 6 | ||||
P6 | Diedru trigonal omnitrunchiat (Prismă hexagonală) |
t0,1,2{2,3}=tr{2,3} |
{6} |
{4} |
{4} |
8 | 18 | 12 | |||
A3 [2] |
Diedru trigonal snub (antiprismă triunghiulară), (Octaedru) |
sr{2,3} |
{3} |
2 {3} |
8 | 12 | 6 | ||||
P3 | Diedru trigonal snub cantic (prismă triunghiulară) |
s2{2,3}=t{2,3} |
5 | 9 | 6 |
Există 16 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei octogonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [4] (2) |
Poz. 1 [2] (4) |
Poz. 0 [2] (4) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||
D4 | Diedru pătrat | {4,2} |
{4} |
2 | 4 | 4 | |||||
H4 | Hosoedru pătrat | {2,4} |
{2} |
4 | 4 | 2 | |||||
D8 | Diedru pătrat trunchiat (diedru octogonal) |
t{4,2} |
{8} |
2 | 8 | 8 | |||||
P4 [7] |
Hosoedru pătrat trunchiat (cub) |
t{2,4} |
{4} |
{4} |
6 | 12 | 8 | ||||
D8 | Diedru pătrat omnitrunchiat (prismă octogonală) |
t0,1,2{2,4}=tr{2,4} |
{8} |
{4} |
{4} |
10 | 24 | 16 | |||
A4 | Diedru pătrat snub (antiprismă pătrată) |
sr{2,4} |
{4} |
2 {3} |
10 | 16 | 8 | ||||
P4 [7] |
Diedru pătrat snub cantic (cub) |
s2{4,2}=t{2,4} |
6 | 12 | 8 | ||||||
A2 [1] |
Hosoedru pătrat snub (antiprismă digonală), (tetraedru) |
s{2,4}=sr{2,2} |
4 | 6 | 4 |
Există 20 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei decagonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă:
# | Nume | Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [5] (2) |
Poz. 1 [2] (5) |
Poz. 0 [2] (5) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||
D5 | Diedru pentagonal | {5,2} |
{5} |
2 | 5 | 5 | |||||
H5 | Hosoedru pentagonal | {2,5} |
{2} |
5 | 5 | 2 | |||||
D10 | Diedru pentagonal trunchiat (diedru decagonal) |
t{5,2} |
{10} |
2 | 10 | 10 | |||||
P5 | Hosoedru pentagonal trunchiat (prismă pentagonală) |
t{2,5} |
{5} |
{4} |
7 | 15 | 10 | ||||
P10 | Diedru pentagonal omnitrunchiat (prismă decagonală) |
t0,1,2{2,5}=tr{2,5} |
{10} |
{4} |
{4} |
12 | 30 | 20 | |||
A5 | Diedru pentagonal snub (antiprismă pentagonală) |
sr{2,5} |
{5} |
2 {3} |
12 | 20 | 10 | ||||
P5 | Diedru pentagonal snub cantic (prismă pentagonală) |
s2{5,2}=t{2,5} |
7 | 15 | 10 |
Există 24 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele bipiramidei dodecagonale și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
# | Nume | Imagine | Pavare | Figura vârfului |
Simbol Coxeter și Schläfli |
Numărul fețelor după poziție | Numărul elementelor | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poz. 2 [6] (2) |
Poz. 1 [2] (6) |
Poz. 0 [2] (6) |
Fe- țe |
Mu- chii |
Vâr- furi | ||||||
D6 | Diedru hexagonal | {6,2} |
{6} |
2 | 6 | 6 | |||||
H6 | Hosoedru hexagonal | {2,6} |
{2} |
6 | 6 | 2 | |||||
D12 | Diedru hexagonal trunchiat (diedru dodecagonal) |
t{6,2} |
{12} |
2 | 12 | 12 | |||||
H6 | Hosoedru hexagonal trunchiat (prismă hexagonală) |
t{2,6} |
{6} |
{4} |
8 | 18 | 12 | ||||
P12 | Diedru hexagonal omnitrunchiat (prismă dodecagonală) |
t0,1,2{2,6}=tr{2,6} |
{12} |
{4} |
{4} |
14 | 36 | 24 | |||
A6 | Diedru hexagonal snub (antiprismă hexagonală) |
sr{2,6} |
{6} |
2 {3} |
14 | 24 | 12 | ||||
P3 | Diedru hexagonal cantic (prismă triunghiulară) |
= h2{6,2}=t{2,3} |
5 | 9 | 6 | ||||||
P6 | Diedru hexagonal snub (prismă hexagonală) |
s2{6,2}=t{2,6} |
8 | 18 | 12 | ||||||
A3 [2] |
Hosoedru hexagonal snub (antiprismă triunghulară), (octaedru) |
s{2,6}=sr{2,3} |
8 | 12 | 6 |
Operația | Simbol | Diagramă Coxeter |
Descriere |
---|---|---|---|
Inițial | {p,q} t0{p,q} |
Orice poliedru sau pavare regulate. | |
Rectificare (r) | r{p,q} t1{p,q} |
Muchiile sunt complet trunchiate în puncte unice. Poliedrul are acum fețele combinate ale poliedrului inițial și ale dualului. Poliedrele sunt denumite prin numărul de laturi ale celor două forme regulate: {p,q} și {q,p}, de exempu „cuboctaedru” pentru r{4,3} între cub și octaedru. | |
Birectificare (2r) (dual) |
2r{p,q} t2{p,q} |
Birectificarea (dualul) este o altă trunchiere, astfel încât fețele originale sunt reduse la puncte. Fețele noi sunt formate sub fiecare vârf al poliedrului ințial. Numărul muchiilor este neschimbat și se rotește cu 90 de grade. O birectificare poate fi văzută ca un dual. | |
Trunchiere (t) | t{p,q} t0,1{p,q} |
Fiecare vârf original este tăiat, cu o față nouă care umple golul. Trunchierea are un grad de libertate, care are o poziție în care se creează un poliedru uniform trunchiat. Poliedrul are fețele sale originale dublate ca număr de laturi și conține fețele dualului. | |
Bitrunchiere (2t) (dual trunchiat) |
2t{p,q} t1,2{p,q} |
O bitrunchiere poate fi văzută ca trunchierea dualului. Un cub bitruncat este un octaedru trunchiat. | |
Cantelare (rr) (expandare) |
rr{p,q} | În plus față de trunchierea vârfurilor, fiecare muchie originală este teșită, cu fețe dreptunghiulare noi care apar în locul lor. O cantelare uniformă este la jumătatea distanței dintre formele părinte și cele duale. Un poliedru cantelat este numit ca rombi-r{p,q}, de exemplu rombicuboctaedru pentru rr{4,3}. | |
Cantitrunchiere (tr) (omnitrunchiere) |
tr{p,q} t0,1,2{p,q} |
Trunchierea și operațiile de cantelare sunt aplicate împreună pentru a crea o formă omnitrunchiată care are fețele poliedrului inițial dublate în numărul de laturi, fețele dualului dublate în numărul de laturi și pătrate undele existau laturile inițiale. |
Operația | Simbol | Diagramă Coxeter |
Descriere |
---|---|---|---|
Rectificare snub (sr) | sr{p,q} | Cantitrunchiere alternată. Toate fețele originale au la sfârșit jumătate din numărul de laturi, iar pătratele degenerează în muchii. Deoarece formele omnitrunchiate au 3 fețe/vârf, se formează noi triunghiuri. De obicei, aceste forme fațetate alternativ sunt ușor deformate după aceea pentru a se obține din nou poliedre uniforme. Posibilitatea ultimei schimbări depinde de gradul de libertate. | |
Snub (s) | s{p,2q} | Trunchiere alternată. | |
Snub cantic (s2) | s2{p,2q} | ||
Cantelare alternată (hrr) | hrr{2p,2q} | Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), alternarea De exemplu, | |
Înjumătățire (h) | h{2p,q} | Alternare a , aceeași cu | |
Cantic (h2) | h2{2p,q} | Aceeași cu | |
Înjumătățire rectificată (hr) | hr{2p,2q} | Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), alternarea , aceeași cu or De exemplu, = sau | |
Sfertuire (q) | q{2p,2q} | Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), aceeași cu De exemplu, = or |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.