Cub snub

În geometrie cubul snub este un poliedru arhimedic. Are 38 de fețe, din care 8+24 triunghiulare și 6 pătrate, 24 de vârfuri și 60 de laturi.

Cub snub
Cele două forme chirale, cw și ccw (animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru arhimedic (poliedru uniform)
Fețe	38 (8+24 triunghiuri, 6 pătrate)
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	24
χ	2
Configurația vârfului	3.3.3.3.4
Simbol Wythoff	| 2 3 4
Simbol Schläfli	sr{4,3} sau ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ht0,1,2{4,3}
Simbol Conway	sC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Oh, 1/2B3, [4,3]+, (*432), ordin 24
Grup de rotație	O, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie	≈ 19,856 a2   (a = latura)
Volum	≈   7,889 a3   (a = latura)
Unghi diedru	3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°) 3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°)
Poliedru dual	Icositetraedru pentagonal
Proprietăți	Poliedru semiregulat, convex, chiral
Figura vârfului
Desfășurată

Duale: Icositetraedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta

O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două cuburi snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un cuboctaedru trunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U₁₂,^[1] indicele Coxeter C₂₄ și indicele Wenninger W₁₇.

Johannes Kepler l-a denumit inițial în latină cubus simus în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical ${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$, și reprezentând o alternare a unui cuboctaedru trunchiat, care are simbolul Schläfli ${\displaystyle t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$.

Dimensiuni

Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1, aria și volumul acestuia sunt:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=6+8{\sqrt {3}}&&\approx 19,856\,406\,460\,6\\V&={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}&&\approx 7,889\,477\,399\,98\end{aligned}}}$

unde t este constanta tribonacci

${\displaystyle t={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1,839\,286\,755\,21.}$

Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1, dualul său, icositetraedrul pentagonal are lungimea laturii

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {t+1}}}{\approx 0,593\,465}\quad }$ și ${\displaystyle \quad {\frac {\sqrt {t+1}}{2}}\approx 0,842\,509.}$.

Volumul unui cub snub cu lungimea laturii ${\displaystyle a}$ poate fi calculat cu relația:^[2]

${\displaystyle V={\frac {3{\sqrt {t-1}}+4{\sqrt {t+1}}}{3{\sqrt {2-t}}}}~a^{3}\approx 7,889\,477\,399\,98a^{3}}$,

unde t este constanta tribonacci de mai sus.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cub snub centrat în origine sunt permutările pare ale

(±1, ±1/t, ±t)

cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, unde t ≈ 1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formează compusul de două cuburi snub.

Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}}$, un număr care este o soluție a ecuației

${\displaystyle \alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,\,}$

și care poate fi scrisă ca

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1,609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}}$

Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cu valoarea α de mai sus.

Proiecții ortogonale

Cubul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Cubul snub are două proiecții ortogonale particulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A₂ și B₂ și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Fața triunghi	Fața pătrat	Latură
Corp
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[3]	[4]+	[2]
Dual

	centrată pe pătrat
Proiecție ortogonală	Proiecție stereografică

Pavare sferică

Cubul snub poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Relații geometrice

Cub, rombicuboctaedru și cub snub
(animații cu expandări și răsuciri)

Alternări uniforme ale cuboctaedrului trunchiat

Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului, deplasându-le spre exterior, apoi rotindu-le în jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cu triunghiuri echilaterale.

Cubul snub poate fi derivat și din cuboctaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă.^[3]

Poliedre înrudite

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme     v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele celor de mai sus
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Variante de simetrii

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie n32	Sferice				Euclidiană	Hiperbolice compacte		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Imagini snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Imagini giro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Figuri snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Note

1. en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
2. en „Snub Cube - Geometry Calculator”. rechneronline.de. Accesat în 26 mai 2020.
3. en / „Spherical Designs” de R.H. Hardin și N.J.A. Sloane

Bibliografie

• en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81. doi:10.1017/S0025557200176818.
• en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• en Cromwell, P. (1997). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• Materiale media legate de cub snub la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Snub cube la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
• en The Uniform Polyhedra
• en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• en Editable printable net of a Snub Cube with interactive 3D view

	Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: snic