측도론에서, 가측 공간(可測空間, 영어: measurable space)은 가측 집합(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 가측 함수라고 한다.
임의의 가측 공간 에서, 공집합 과 전체 집합 은 항상 가측 집합이다.
크기
가측 공간 의 가측 집합의 수는 항상 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.[2]
증명:
가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다.
- 가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다.
- 에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 을 고른다.
- 는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로, 또는 가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면 역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다.
따라서, 는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며,
는 크기 의, 의 부분 집합을 이룬다. 따라서 이다.
집합 의 집합족 에 대하여, 로부터 생성되는 가측 공간 구조 의 크기의 상계는 다음과 같다.[1]:Exercise 1.4.16
이는 를 초한 귀납법으로 구성할 때 번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 은 최소의 비가산 순서수이다.)
딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리
집합 속의 집합족 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.
- (π) 는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 π계(영어: π-system)라고 한다.
- (λ) 는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, 이다.) 이를 만족시키는 집합족을 λ계(영어: λ-system)라고 한다.
- (π′) 의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 집합체(영어: field of sets)라고 한다.
- (λ′) 이며, 임의의 에 대하여, 라면, 이며, 임의의 에 대하여, 라면, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 단조류(영어: monotone class)라고 한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
집합 속의 집합족 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 시그마 대수이다.
- (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
- (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.
집합 속의 집합족 에 대하여, 다음이 성립한다.
- (딘킨 π-λ 정리 영어: Dynkin π–λ theorem) 가 (π) 조건을 만족시킨다면, 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.[3]:42, §1.3, Theorem 3.3
- (단조류 정리 영어: monotone class theorem) 가 (π′) 조건을 만족시킨다면, 로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.[3]:43, §1.3, Theorem 3.4
위 증명을 (π′) 조건과 (λ′) 조건에 적용하면 단조류 정리의 증명을 얻는다.
를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 위의 가측 공간 구조이다.
- 양의 정수가 아닌 임의의 기수 에 대하여, 는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 의 부분집합 가운데 크기가 이하이거나 그 여집합의 크기가 이하인 집합들의 족이다.
- 만약 이라면, 이는 이다. 이 집합족은 자명 가측 공간 구조이며, 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
- 만약 라면, 이는 의 멱집합 이다. 이를 이산 가측 공간이라고 하며, 이는 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
- 의 분할 이 주어진다면, 는 위의 가측 공간 구조를 이룬다.
유한 집합 위의 시그마 대수
유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수
- 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110)
이다.
예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.
자세한 정보 분할, 가측 집합 ...
분할 | 가측 집합 | 비고 |
{a, b, c} | {}, {a, b, c} | 자명 가측 공간 |
{a}, {b, c} | {}, {a}, {b, c}, {a, b, c} | |
{a, b}, {c} | {}, {a, b}, {c}, {a, b, c} | |
{a, c}, {b} | {}, {a, c}, {b}, {a, b, c} | |
{a}, {b}, {c} | {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} | 이산 가측 공간 |
닫기
보렐 시그마 대수
위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 보렐 시그마 대수 라고 한다.
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 분리 가측 공간이다.
- 는 콜모고로프 공간이다.
유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다.[4][5] 구체적으로, 가 크기 의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 의 비가산 곱공간 을 생각하자. 이 곱위상은 기저
로 생성된다. 그렇다면, 로 생성되는 가측 공간 구조는 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.
Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.