측도

수학에서 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.^[1] 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, 영어: measure theory)이라고 한다.

이 문서는 수학에서 집합의 크기를 측정하는 함수 측도(測度)에 관한 것입니다. 인천광역시의 섬 측도(測島)에 대해서는 선재도 문서를 참고하십시오.

정의

측도

불 대수의 두 원소 ${\displaystyle x,y\in B}$에 대하여, ${\displaystyle x\land y=\bot }$라면 두 원소가 서로소(-素, 영어: disjoint)라고 한다.

임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 ${\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}$의 합을 다음과 같이 정의하자.^{[2]:129, (10.10)}

${\displaystyle \sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}}\sum S'\in [0,\infty ]}$

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle \kappa }$-완비 불 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 함수 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle \mu }$가 ${\displaystyle \kappa }$-가법 측도(-加法測度, 영어: ${\displaystyle \kappa }$-additive measure)라고 한다.

• 임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|<\kappa }$라면, ${\displaystyle \textstyle \mu (\bigvee {\mathcal {S}})=\sum \mu [{\mathcal {S}}]}$.
  • (특히, ${\displaystyle \kappa \geq 1}$일 때, ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }$일 경우 ${\displaystyle \textstyle \mu (\bot _{\Sigma })=0}$이다.)
  • (특히, ${\displaystyle \kappa \geq 2}$일 때, 임의의 ${\displaystyle A\leq B}$에 대하여 ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)+\mu (B\land \lnot A)\geq \mu (A)}$이므로, ${\displaystyle \mu }$는 증가 함수이다.)

여기서 ${\displaystyle [0,\infty ]}$는 음이 아닌 확장된 실수의 전순서 집합이며, ${\displaystyle \textstyle \bigvee }$는 상한을 뜻하며, ${\displaystyle \bot _{\Sigma }}$은 시그마 대수의 최소 원소이다.

만약 ${\displaystyle 2<\kappa \leq \aleph _{0}}$일 경우, ${\displaystyle \mu }$를 유한 가법 측도(有限加法測度, 영어: finitely additive measure)라고 한다. 만약 ${\displaystyle \kappa =\aleph _{1}}$인 경우, ${\displaystyle \aleph _{1}}$-완비 불 대수를 시그마 대수라고 하며, ${\displaystyle \mu }$를 가산 가법 측도(加算加法測度, 영어: countably additive measure) 또는 시그마 가법 측도(σ加法測度, 영어: sigma-additive measure) 또는 단순히 측도라고 한다.

불 대수 ${\displaystyle B}$ 위의 함수 ${\displaystyle \mu \colon B\to [0,\infty ]}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유한 가법 측도이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • ${\displaystyle \mu (\bot _{B})=0}$
  • (증가성) 임의의 ${\displaystyle x,y\in B}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\leq y}$라면, ${\displaystyle \mu (x)\leq \mu (y)}$
  • (모듈러성) 임의의 ${\displaystyle x,y\in B}$에 대하여, ${\displaystyle \mu (x\land y)+\mu (x\lor y)=\mu (x)+\mu (y)}$

유한 측도

${\displaystyle \kappa }$-완비 불 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 ${\displaystyle \kappa }$-가법 측도 ${\displaystyle \mu }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \mu (\top _{\Sigma })<\infty }$라면 ${\displaystyle \mu }$를 유한 측도(有限測度, 영어: finite measure)라고 한다. 만약 ${\displaystyle \mu (\top _{\Sigma })=1}$이라면 ${\displaystyle \mu }$를 확률 측도라고 한다. 사실, 임의의 ${\displaystyle \kappa >\aleph _{1}}$에 대하여, ${\displaystyle \kappa }$-가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다. 이는 유한 가법 유한 측도를 갖는 불 대수는 가산 사슬 조건(즉, 서로소 원소들의 비가산 집합을 갖지 않음)을 만족시키기 때문이다.^{[3]:24, §3.3, Theorem 5}

증명:

불 대수 ${\displaystyle B}$가 유한 가법 유한 측도 ${\displaystyle \mu \colon B\to [0,\infty ]}$를 갖는다고 하자. 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle B}$가 서로소 원소들의 비가산 집합 ${\displaystyle S\subseteq B}$를 갖는다고 하자.

${\displaystyle S_{i}=\left\{s\in S\colon \mu (s)\geq {\frac {1}{i}}\right\}\qquad (i\in \mathbb {Z} ^{+})}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \textstyle S\setminus \{\bot _{B}\}=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$이므로 ${\displaystyle |S_{i_{0}}|\geq \aleph _{0}}$인 ${\displaystyle i_{0}\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다. 따라서,

${\displaystyle \mu (\top _{B})\geq \sup _{\scriptstyle {S'\subseteq S_{i_{0}} \atop |S'|<\aleph _{0}}}\mu \left(\bigvee S'\right)=\sup _{\scriptstyle {S'\subseteq S_{i_{0}} \atop |S'|<\aleph _{0}}}\sum \mu [S']\geq \sup _{\scriptstyle {S'\subseteq S_{i_{0}} \atop |S'|<\aleph _{0}}}{\frac {|S'|}{i_{0}}}=\infty >\mu (\top _{B})}$

이며, 이는 모순이다.

시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 가산 가법 측도 ${\displaystyle \mu }$에 대하여, 만약

${\displaystyle \bigvee {\mathcal {S}}=\top _{\Sigma }}$

${\displaystyle \forall S\in {\mathcal {S}}\colon \mu (S)<\infty }$

${\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}}$

를 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma }$가 존재한다면, ${\displaystyle \mu }$를 시그마 유한 측도(σ有限測度, 영어: sigma-finite measure)라고 한다.

불 대수 위의 유한 가법 측도 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle \mu }$를 준유한 측도(準有限測度, 영어: semifinite measure)라고 한다.^{[4]:97, Exercise 1.12.132}

• 임의의 ${\displaystyle S\in \Sigma }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \mu (S)>0}$이라면, ${\displaystyle 0<\mu (T)<\infty }$인 ${\displaystyle \Sigma \ni T\subseteq S}$가 존재한다.

완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 마하람 측도(영어: Maharam measure) 또는 국소화 가능 측도(영어: localizable measure)라고 한다.^{[4]:97, Exercise 1.12.134}

영집합의 순서 아이디얼

${\displaystyle \kappa }$-완비 불 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 측도 ${\displaystyle \mu }$가 주어졌을 때, 그 영원소(零元素, 영어: null element)는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}}$

이는 ${\displaystyle \kappa }$-완비 순서 아이디얼을 이루며, 따라서 몫 대수 ${\displaystyle {\tilde {\Sigma }}=\Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}$를 정의할 수 있고, ${\displaystyle \mu }$는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.

${\displaystyle \forall {\tilde {S}}\in {\tilde {\Sigma }}\colon \mu ({\tilde {S}})=0\iff {\tilde {S}}=\bot _{\tilde {\Sigma }}}$

즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.

측도 공간

측도 대수(測度代數, 영어: measure algebra)는 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$와 그 위의 측도 ${\displaystyle \mu }$의 순서쌍 ${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$이다.^{[5]:277, §9.3}

가측 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$에서, 가측 집합들의 집합족 ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$는 시그마 대수를 이룬다. 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$은 가측 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$과 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 측도 ${\displaystyle \mu }$의 순서쌍이다. 만약 ${\displaystyle \mu }$가 확률 측도라면, ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$를 확률 공간이라고 한다.

연산

합측도

임의의 측도 공간들의 족 ${\displaystyle (X_{i},\Sigma _{i},\mu _{i})_{i\in I}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 분리합집합

${\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}}$

위에 시그마 대수

${\displaystyle \Sigma =\sigma \left(\bigsqcup \Sigma _{i}\right)}$

를 부여하고, 그 위에 측도

${\displaystyle \mu \left(\bigsqcup _{i\in I}S_{i}\right)=\sum _{i\in I}\mu _{i}(S_{i})\qquad (\forall i\in I\colon S_{i}\in \Sigma _{i})}$

를 부여할 수 있다.

곱측도

두 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$, ${\displaystyle (X',\Sigma ',\mu ')}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 ${\displaystyle X\times X'}$ 위에 시그마 대수

${\displaystyle \Sigma \times \Sigma '=\sigma (\{S\times S'\colon S\in \Sigma ,\;S'\in \Sigma '\})}$

를 부여하자. (여기서 ${\displaystyle \sigma (-)}$는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 시그마 대수를 뜻한다.) 이제, 추가로 ${\displaystyle \mu }$와 ${\displaystyle \mu '}$이 시그마 유한 측도라면, ${\displaystyle \Sigma \times \Sigma '}$ 위에 다음과 같은 측도를 부여할 수 있다.

${\displaystyle \mu \times \mu '\colon A\mapsto \int _{X'}\mu (\{x\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm {d} \mu '(y)=\int _{X}\mu '(\{y\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm {d} \mu (x)\qquad (A\in \Sigma \times \Sigma ')}$

시그마 유한 조건 아래, 이는 다음 항등식을 만족시키는, ${\displaystyle \Sigma \times \Sigma '}$ 위의 유일한 측도이다.

${\displaystyle (\mu \times \mu ')(S\times S')=\mu (S)\mu (S')\qquad \forall S\in \Sigma ,\;S'\in \Sigma '}$

(우변에서 ${\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0}$으로 놓는다.)

그러나 만약 시그마 유한 조건이 성립하지 않는다면 위 등식이 성립하지 못할 수 있다.

성질

임의의 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$에서 다음 명제들이 성립한다.

• (단조성) 부분 순서 집합 ${\displaystyle (\Sigma ,\leq )}$에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합 ${\displaystyle ([0,\infty ],\leq )}$으로 가는 함수 ${\displaystyle \mu }$는 단조함수이다. 즉, ${\displaystyle S_{1},S_{2}\in \Sigma }$이며 ${\displaystyle S_{1}\subset S_{2}}$라면 ${\displaystyle \mu (S_{1})\leq \mu (S_{2})}$이다.
• 만약 ${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots \in \Sigma }$라면, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i})}$

  어떤 ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\right)<\infty }$라면, ${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\right)}$

거리 구조

불 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 유한 가법 측도 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \Sigma }$ 위에 다음과 같은 확장된 유사 거리 함수(영어: extended pseudometric) ${\displaystyle d\colon \Sigma \times \Sigma \to [0,\infty ]}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle d(A,B)=\mu (A\triangle B)=\mu (A\setminus B\lor B\setminus A)\qquad (A,B\in \Sigma )}$

여기서 ${\displaystyle \triangle }$은 대칭차이다.

증명:

자명하지 않은 유일한 조건은 삼각 부등식이다. 임의의 ${\displaystyle A,B,C\in \Sigma }$에 대하여,

${\displaystyle (A\triangle B)\lor (B\triangle C)=(A\lor B\lor C)\setminus (A\land B\land C)\geq A\triangle C}$

이므로 (벤 다이어그램 참고)

${\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq \mu \left((A\triangle B)\cup (B\triangle C)\right)\geq d(A,C)}$

이다.

만약 ${\displaystyle \mu }$가 유한 측도라면, 이는 유사 거리 공간을 이루며, 측도 대수 ${\displaystyle \Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}$는 거리 공간을 이룬다.

원자

불 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 유한 가법 측도 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$가 주어졌을 때, 영원소들의 순서 아이디얼

${\displaystyle \operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}}$

을 생각하자. ${\displaystyle \mu }$의 원자(原子, 영어: atom)는 ${\displaystyle \Sigma \setminus \operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}$의 극소 원소이다. (다시 말해, 몫대수 ${\displaystyle \Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )}$의 순서론적 원자이다.) 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소 ${\displaystyle S\in \Sigma }$이다.

• ${\displaystyle \mu (S)>0}$
• 임의의 ${\displaystyle S'<S}$에 대하여, ${\displaystyle \mu (S')=0}$

원자를 갖지 않는 측도를 비원자적 측도(非原子的測度, 영어: nonatomic measure)라고 한다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \Sigma }$는 (추상적) 시그마 대수이다.
• ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$는 그 위의 비원자적 가산 가법 측도이다. 또한, ${\displaystyle \mu (\top _{\Sigma })>0}$이다.

그렇다면, 비원자적 측도에 대한 중간값 정리(영어: intermediate-value theorem for nonatomic measures)에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon [0,\mu (\top _{\Sigma })]\to \Sigma }$가 존재한다.

• ${\displaystyle f}$는 증가 함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle 0\leq a\leq b\leq \mu (\top _{\Sigma })}$에 대하여 ${\displaystyle f(a)\leq f(b)}$이다.
• ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \mu }$의 오른쪽 역함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a\in [0,\mu (\top _{\Sigma })]}$에 대하여 ${\displaystyle \mu (f(a))=a}$이다.

증명:

증명은 다음과 같다.

• ① 어떤 부분 정의 함수들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle \Gamma }$는 극대 원소 ${\displaystyle f_{\max }}$를 갖는다.
• ② 그 정의역 ${\displaystyle \operatorname {dom} f_{\max }}$은 조밀 순서 집합이다.
• ③ ${\displaystyle \operatorname {dom} f_{\max }=[0,\mu (\top _{\Sigma })]}$이다.

① 부분 정의 함수들의 집합

${\displaystyle \Gamma \subseteq \bigsqcup _{D\subseteq [0,\mu (\top _{\Sigma })]}\Sigma ^{D}}$

이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, 증가 함수이며 ${\displaystyle \mu }$의 오른쪽 역함수인) 부분 정의 함수들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 부분 순서

${\displaystyle f\leq f'\iff (D\subseteq D')\land (f=f'\upharpoonright D)\qquad (f\in \Sigma ^{D},\;f'\in \Sigma ^{D'})}$

를 주자. 그렇다면, ${\displaystyle \Gamma }$는 닫힌 부분 순서 집합임을 쉽게 확인할 수 있으며, 초른 보조정리에 의하여 극대 원소 ${\displaystyle f_{\max }\in \Gamma }$를 갖는다.

② 귀류법을 사용하여, 임의의 ${\displaystyle a,b\in \operatorname {dom} f_{\max }}$에 대하여, ${\displaystyle a<b}$이며 ${\displaystyle (a,b)\subseteq [0,\mu (\top _{\Sigma })]\setminus \operatorname {dom} f_{\max }}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f(b)\land \lnot f(a)\in \Sigma }$는 ${\displaystyle \mu }$의 원자가 되어 가정에 모순된다.

③ 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle C=[0,\mu (\top _{\Sigma })]\setminus \operatorname {dom} f_{\max }\neq \varnothing }$이라고 하자. ${\displaystyle C}$ 속에 포함되는 열린구간들의 족은 초른의 보조 정리에 의하여 극대 원소 ${\displaystyle (a,b)\subseteq C}$를 갖는다. 극대 원소의 정의에 따라, ${\displaystyle a}$로 수렴하는 증가 수열

${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots \in [0,a]\cap \operatorname {dom} f_{\max }}$

과 ${\displaystyle b}$로 수렴하는 감소 수열

${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots \in [b,\mu (\top _{\Sigma })]\cap \operatorname {dom} f_{\max }}$

가 존재한다. 이제,

${\displaystyle S_{-}=\bigvee _{i=0}^{\infty }f(a_{i})\in \Sigma }$

${\displaystyle S_{+}=\bigwedge _{i=0}^{\infty }f(b_{i})\in \Sigma }$

를 정의하면,

${\displaystyle a\leq \mu (S_{-})\leq \mu (S_{+})\leq b}$

가 되므로, ${\displaystyle \{\mu (S_{-}),\mu (S_{+})\}\subseteq \operatorname {dom} f_{\max }}$이며, ②에 따라 ${\displaystyle c\in (\mu (S_{-}),\mu (S_{+}))\cap \operatorname {dom} f_{\max }\subseteq C\cap \operatorname {dom} f_{\max }=\varnothing }$가 존재하는데, 이는 모순이다.

따라서, 이러한 ${\displaystyle \Sigma }$의 크기는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 이상이며, 만약 어떤 집합 ${\displaystyle X}$에 대하여 ${\displaystyle \Sigma \subseteq \operatorname {Pow} (X)}$라면 ${\displaystyle X}$의 크기 역시 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 이상이다.

분류

가산 가법 측도 대수 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$가 다음 조건을 만족시킨다면 동질 측도 대수(同質測度代數, 영어: homogeneous measure algebra)라고 한다.

• 임의의 두 ${\displaystyle S,T\in \Sigma }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \mu (S),\mu (T)>0}$일 경우, ${\displaystyle \operatorname {wt} (\mu \upharpoonright \downarrow \{S\})=\operatorname {wt} (\mu \upharpoonright \downarrow \{T\})}$이다.

여기서 ${\displaystyle \operatorname {wt} }$는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, ${\displaystyle \downarrow }$는 하집합을 뜻하며, ${\displaystyle \upharpoonright }$은 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.

마하람 정리(영어: Maharam’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.^{[5]:280, Theorem 9.3.5(i)[6]:109, Theorem 1}
• 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여 ${\displaystyle P(\kappa )}$와 동형이다.^{[5]:280, Theorem 9.3.5(ii)[6]:111, Theorem 2}

여기서, ${\displaystyle P(\kappa )}$는 곱공간 ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 ${\displaystyle [0,1]}$ 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, ${\displaystyle \kappa }$개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.

예

집합 위의 측도

임의의 불 대수 ${\displaystyle B}$ 위에서, 값 0을 갖는 상수 함수는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약 ${\displaystyle B}$가 ${\displaystyle \kappa }$-완비 불 대수라면 이는 ${\displaystyle \kappa }$-가법 측도이다.

셈측도는 집합의 원소 개수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다.

디랙 측도(영어: Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 ${\displaystyle a\in X}$에 대해, 디랙 측도 ${\displaystyle \delta _{a}(E)}$는 ${\displaystyle E}$에 ${\displaystyle a}$가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}(a)}$로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

집합론에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수를 가측 기수라고 한다.

불 대수 ${\displaystyle B}$ 위의 극대 필터 ${\displaystyle U\subseteq B}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mu (b)={\begin{cases}1&b\in B\\0&b\not \in B\end{cases}}}$

위상 공간

임의의 거리 공간 위에는 하우스도르프 측도라는 측도가 존재한다.

유클리드 공간 위에는 통상적으로 르베그 측도가 사용된다.

위상군 위에는 하르 측도라는 측도가 존재한다.

역사

1898년 저서^[7]에서 에밀 보렐은 구간의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 보렐 집합에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 보렐 집합의 르베그 측도를 정의하였다.

이후 1902년 박사 학위 논문^[8]에서 앙리 르베그는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 유클리드 공간의 르베그 측도를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 적분 이론을 전개하였다.

같이 보기

• 거의 어디서나
• 카라테오도리 확장 정리
• 푸비니 정리
• 파투 보조정리
• 하우스도르프 측도
• 르베그 적분
• 르베그 측도
• 가측 기수
• 가측 함수
• 외측도
• 부피 형식

각주

1. Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.
2. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.
3. Vladimirov, D. A. (2002). 《Boolean Algebras in Analysis》 (PDF). Mathematics and Its Applications (영어) 540. Dordrecht: Springer Science+Business Media B.V. doi:10.1007/978-94-017-0936-1. ISBN 978-90-481-5961-1.
4. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume 1》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8.
5. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume 2》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8.
6. Maharam, Dorothy (1942년 3월 15일). “On homogeneous measure algebras”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 28 (3): 108–111. ISSN 0027-8424. JSTOR 87851. PMC 1078424. PMID 16578030.
7. Borel, Émile (1898). 《Leçons sur la théorie des fonctions》 (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars et fils, imprimateurs-libraires. JFM 29.0336.01.
8. Lebesgue, Henri (1902년 6월). “Intégrale, longueur, aire”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata Serie 3》 (프랑스어) 7 (4): 231–359. JFM 33.0307.02.

참고 문헌

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• Athreya, Siva R.; Sunder, V. S. (2008). 《Measure & probability》 (영어). CRC Press. ISBN 978-143980126-0. Zbl 1180.60001.
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외부 링크

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