확률론에서 확률 공간(確率空間, 영어: probability space)은 전체 측도가 1인 측도 공간이다. 확률적인 현상에서, 확률공간의 측도는 확률을 정의한다.
확률 공간
은 공간 전체의 측도가 1인 측도 공간이다.
![{\displaystyle \Pr(\Omega )=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d404ce9ba743717f76663c19adb04af92d36b5)
확률론에서는 측도론의 용어와 다른 각종 용어들이 사용된다.
- 확률공간의 점들의 집합
는 표본 공간이라고 한다.
- 확률공간의 가측 집합
은 사건(영어: event)이라고 한다.
- 사건
의 측도
는 사건의 확률(영어: probability)이라고 한다.
확률론의 용어를 사용한다면, 측도 공간의 각종 성질은 다음과 같다.
- 사건
에 대하여, 그 여집합
역시 사건이다. 즉, 어떤 사건에 대하여, 그 사건이 일어나지 않는 경우 역시 사건이다.
- 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 즉, 사건들의 열이 주어졌을 때, 사건의 열 가운데 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건을 이루며, 사건의 열이 모두 일어나는 경우 (교집합) 역시 사건을 이룬다.
- 공집합과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.
확률 공간의 기초적인 예로는 다음이 있다.
유클리드 공간의 부분 공간
측도 공간
에서, 측도가 양의 실수인 가측 집합
![{\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58d6c9cfaccd8b03c9cb1acffb3857023613120)
![{\displaystyle 0<\mu (\Omega )<\infty }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f93c64304c9e81340a177efd05fcba9beafd79)
이 주어졌다면, 다음과 같은 확률공간
을 정의할 수 있다.
- 표본 공간은
이다.
- 사건 시그마 대수는
이다.
- 사건
의 확률은 다음과 같다.
![{\displaystyle \Pr(S)=\mu (S)/\mu (\Omega )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b088b647c521ec49363b40752342eaca8677b0a2)
예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분 집합을 확률 공간으로 삼을 수 있다.