Projektiv geometri
From Wikipedia, the free encyclopedia
Projektiv geometri er en annerledes geometri enn den som ble grunnlagt av Euklid for over to tusen år siden. Den er mer generell, ved at den ikke inneholder alle antagelsene som han postulerte i sitt store verk Elementer. Mens man i euklidsk geometri omhandler målbare størrelser som lengder av linjestykker og vinklene mellom dem og på den måten kan snakke om likeformete eller kongruente figurer, er de sentrale konseptene i projektiv geometri skjæringspunkt mellom linjer som igjen kan være fremkommet som skjæringslinjer mellom plan. På den måten er projektiv geometri nærmere i slekt med insidensgeometri enn med euklidsk geometri.
Områder i geometri |
Algebraisk geometri |
Differensialgeometri |
Liegrupper |
Euklidsk geometri |
Ikke-euklidsk geometri |
Elliptisk geometri |
Topologi |
Algebraisk topologi |
Trigonometri |
Når det projektive rommet som disse punktene eller linjene befinner seg i, blir projisert inn i et annet rom eller på et plan, vil de igjen opptre som punkt og linjer. Derimot vil utseende og størrelsen til en geometrisk figur forandres ved en slik transformasjon. Dette er velkjent fra dagliglivet når for eksempel et tredimensjonalt landskap skal males eller forgraferes. Det projiseres da ned på en todimensjonal flate og landskapet vil se forskjellig ut avhengig av hvor maleren står i landskapet eller hvor kameraet er plassert. Mens det meste vil se litt annerledes ut for forskjellige observatører, er noen egenskaper de samme i alle fremstillingene. For eksempel, hvis de tilsvarende hjørnene til flere vinduer på et bygg ligger på en rett linje i landskapet, vil de fremdeles ligge langs en rett linje på alle bilder. Men hvert enkelt vindu vil i alminnelighet se forskjellig ut.
Alle geometriske figurer blir generelt forandret under slike projeksjoner. Avbilder man en sirkel rett ovenfra, blir bildet en ny sirkel. Men er billedplanet skjevt i forhold til sirkelplanet, blir sirkelen i stedet avbildet som en ellipse. I projektiv geometri er det derfor ikke noen forskjell mellom de tre kjeglesnittene. En sirkel er ekvivalent med en ellipse som igjen kan transformeres til en parabel eller hyperbel. Formen er avhengig av øyet som ser.