Elliptisk geometri
From Wikipedia, the free encyclopedia
Elliptisk geometri er en ikke-euklidsk geometri der parallellpostulatet om at det gjennom hvert punkt kun går en linje som er parallell med en annen linje, ikke er oppfylt. I elliptisk geometri finnes ingen parallelle linjer da alle skjærer hverandre på samme måte som i sfærisk geometri. Dette er i motsetning til hyperbolsk geometri hvor det gjennom hvert punkt utenfor en linje går uendelig mange parallelle linjer.
En karakteristisk egenskap ved ikke-euklidske geometrier er summen av hjørnevinklene i en trekant. I elliptisk geometri er denne større enn 180° på samme måte som for en sfærisk trekant. I hyperbolsk geometri er summen derimot mindre enn 180°. På lignende vis er krumningen til et elliptisk plan konstant og positiv, mens et hyperbolsk plan har konstant negativ krumning.
Forståelsen av ikke-euklidske geometrier ble etablert på 1800-tallet. Etter at Bolyai og Lobatjevskij hadde oppdaget hyperbolsk geometri, viste Klein hvordan den passer inn i den mer generelle, projektive plangeometrien. I denne sammenhengen etablerte han også elliptisk geometri og innførte navnene hyperbolsk og elliptisk ut fra egenskaper ved den projektive beskrivelsen.
Da hadde allerede Riemann stilt opp en mye mer generell differensialgeometri hvor både elliptisk og hyperbolsk geometri opptrer som spesielle tilfeller karakterisert ved at krumningen er den samme overalt. Etter dette gjennombruddet til Riemann ble det klart at disse todimensjonale geometriene kan generaliseres til rom med høyere dimensjoner hvor de samme betegnelsene fortsatt blir brukt når deres krumning er konstant positiv eller negativ. Slike symmetriske geometrier spiller i dag en stor rolle i moderne kosmologi basert på Einsteins generelle relativitetsteori.