Sfærisk geometri
From Wikipedia, the free encyclopedia
Sfærisk geometri (også kalt kulegeometri) beskriver geometriske forhold mellom punkter og linjer på en kuleflate (sfære). Den ble opprinnelige utviklet i antikken for å beskrive observasjoner på himmelhvelvingen og etterhvert anvendt for navigasjon på jordoverflaten. I dag er den et eksempel på en ikke-euklidsk geometri da parallellaksiomet ikke er oppfylt.
På samme måte som i den vanlige plangeometrien er linjer i sfærisk geometri definert ved at de forbinder to punkt langs en vei som gir den korteste avstand mellom punktene. De er derfor geodetiske kurver på kuleflaten og kan identifiseres med dens storsirkler. Vinkelen mellom to slike linjer er definert i deres skjæringspunkt. Lengden av et linjestykke som forbinder to punkt, er gitt ved den brøkdelen det utgjør av en hel storsirkel. Når vinkler måles i radianer, har den per definisjon lengden 2π .
Da to storsirkler skjærer hverandre i to diametralt motsatte punkt eller antipoder, vil de avgrense kuleflaten i to mindre deler. Den minste omtales vanligvis som en sfærisk tokant. Den har to sider og to hjørner og er den enkleste figuren i sfærisk geometri. Mer interessant og viktigere er den sfæriske trekanten som er avgrenset av tre storsirkler og derfor har tre hjørner. Mens summen av vinklene til en plan trekant er π , er den tilsvarende summen av vinklene i en sfærisk trekant alltid større enn dette. Dette er et annet uttrykk for at geometrien er ikke-euklidsk.
Sammenhengen mellom sidene og vinklene i sfærisk geometri omhandles i sfærisk trigonometri. I motsetning til den vanlige trigonometrien inneholder den et stort antall forskjellige relasjoner mellom disse størrelsene. For sfæriske trekanter med minst en rett vinkel forenkles dette noe slik at disse trekantene har en spesiell plass i denne trigonometrien.
Sfærisk geometri er den enkleste formen for elliptisk geometri hvor en linje ikke har noen paralleller gjennom et punkt utenfor linjen. Da to linjer alltid skjærer hverandre i to motsatte punkt, kalles også sfærisk geometri for dobbeltelliptisk geometri. Man kan identifisere to slike motpoler med hverandre slik at to storsirkler bare skjærer hverandre i ett punkt. Dette vil da være enkeltelliptisk geometri, men den kan man ikke så lett skaffe seg et mentalt bilde av. Derimot beskrives den elegant som et projektivt plan ved analytiske metoder.
Kuleflaten er todimensjonal og har en konstant krumning. Sfærisk geometri kan utvides til rom med høyere dimensjoner og konstant krumning på samme måte som for elliptiske geometrier i høyere dimensjoner. Disse geometriene vil da kunne behandles som spesielle tilfeller av mer generelle Riemann-geometrier.