Geometri
gren av matematikken / From Wikipedia, the free encyclopedia
Geometri (gresk γεωμετρία; geo = jord, metria = mål, måling) oppsto som kunnskapsfeltet som tar for seg figurer og forhold i plan og rom. Klassisk geometri tok blant annet for seg konstruksjoner som kunne utføres med passer og linjal. Moderne geometri består av undergrener som algebraisk geometri, algebraisk topologi og differensialgeometri.
Områder i geometri |
Algebraisk geometri |
Differensialgeometri |
Liegrupper |
Euklidsk geometri |
Ikke-euklidsk geometri |
Elliptisk geometri |
Topologi |
Algebraisk topologi |
Trigonometri |
Geometri oppsto i en rekke tidlige kulturer uavhengig av hverandre som en samling av praktisk kunnskap om lengde, areal og volum. I det sjette århundret f.Kr. gjorde Tales fra Milet geometri til en matematisk vitenskap. I det tredje århundret f.Kr. ble geometrien plassert inn i en aksiomatisk form av Euklid, og den euklidske geometrien satte en standard som holdt stand i mange århundrer.[1] Arkimedes utviklet geniale teknikker for beregning av arealer og volum, på mange måter forutså han den moderne integralregningen. Astronomien, særlig kartlegging posisjonene til stjerner og planeter på himmelhvelvingen og beskrivelse av forholdet mellom himmellegemenes bevegelser, fungerte som en viktig kilde til geometriske problemer i løpet av neste halvannet årtusen. Både geometri og astronomi ble vurdert i den klassiske verden til å være en del av quadrivium, en undergruppe av de syv frie kunstene som ble sett på som essensielt for en fri statsborger å mestre.
Innføringen av koordinater av René Descartes og den samtidige utviklingen av algebra markerte en ny fase for geometrien siden geometriske figurer, for eksempel plankurver, nå kunne bli representert analytisk med funksjoner og ligninger. Dette spilte en sentral rolle i fremveksten av infinitesimalregning i det 17. århundret. Videre viste teorien om perspektiv at det er mer ved geometrien enn bare tallenes metriske egenskaper: perspektiv er opphavet til projektiv geometri. Geometrien ble ytterligere beriket av studiet av den indre strukturen til geometriske objekter som oppsto med Euler og Gauss og førte til etableringen av topologi og differensialgeometri.
I Euklids tid var det ingen klare skiller mellom fysisk rom og geometriske rom. Etter at man i det 19. århundret oppdaget ikke-euklidsk geometri har begrepet rom gjennomgått en radikal endring. Spørsmålet som nå oppsto var hvilket geometrisk rom som passet best til det fysiske rommet. Med fremveksten av den formelle matematikken i det 20. århundret, mistet også 'rom' (og 'punkt', 'linje', 'plan') sitt intuitive innhold. I dag er vi derfor nødt til å skille mellom fysisk rom, geometriske rom og abstrakte rom.
Moderne geometri vurderer mangfoldighet, områder som er betydelig mer abstrakte enn det kjente euklidske rom, som de bare omtrentlig ligner på små skalaer. Disse rommene kan være utstyrt med ekstra struktur, slik at man snakker om lengde. Moderne geometri har flere sterke bånd med fysikk, eksemplifisert ved båndene mellom pseudo-riemannsk geometri og generell relativitet. En av de yngste fysiske teorier, strengteori, er også svært geometrisk i essensen.
Selv om geometriens visuelle natur i utgangspunktet gjør den mer tilgjengelig enn andre deler av matematikken, som algebra eller tallteori, er det geometriske språket også brukt i sammenhenger fjernt fra dets tradisjonelle, euklidske opprinnelse, for eksempel i fraktalgeometri og algebraisk geometri.