Hyperbolsk geometri
From Wikipedia, the free encyclopedia
Hyperbolsk geometri er en generalisering av euklidsk geometri hvor parallellpostulatet ikke er gyldig. Den er derfor en ikke-euklidsk geometri som beskriver plan eller rom som har konstant, negativ krumning. Den ble etablert av Janos Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij på midten av 1800-tallet og blir derfor også omtalt som Bolyai-Lobatsjevskij-geometri. Mange av deres oppdagelser var også kjent av Gauss, men hans resultat ble først kjent etter hans død. Han kalte denne nye geometrien for ikke-euklidsk geometri. Navnet hyperbolsk geometri ble innført flere tiår senere av Felix Klein da han kunne vise hvordan den kunne utledes mer generelt fra projektiv geometri.
I euklidsk geometri sier parallellpostulatet at man gjennom et punkt utenfor en linje alltid kan trekke en parallell linje. Den vil aldri skjære den gitte linjen. Men når man oppgir dette postulatet, er det ikke lenger opplagt hva som skjer med to linjer som forlenges i det uendelige. De kan skjære hverandre eller ikke. Det er nærliggende å si at i det siste tilfellet er linjene parallelle. Men Bolyai og Lobatsjevskij viste at en mer presis definisjon av parallellitet er gitt som grensen mellom de linjer som skjærer og de som ikke skjærer den gitte linjen. Gjennom et punkt utenfor en linje i hyperbolsk geometri finnes det derfor uendelig mange linjer som ikke skjærer den gitte linjen, men bare to ekte paralleller. Disse omtales også som grenseparalleller eller «horoparalleller» etter det greske ordet όριο for grense som også finnes i horisont.
Men summen av vinklene i en trekant i euklidsk geometri er 180° eller π radianer, vil denne summen i hyperbolsk geometri alltid være mindre enn dette. Kalles vinklene for α, β og γ, kan arealet til en hyperbolsk trekant skrives som
hvor k er en konstant med dimensjon lengde. Selv om det hyperbolske planet er uendelig stort, må alle trekanter ha areal mindre enn π k2. Denne formelen tilsvarer arealet
for en sfærisk trekant hvor summen av vinklene i trekanten alltid er større enn π. Disse to formelene går over i hverandre ved å la k → iR hvor i er den imaginære enheten. Denne matematiske sammenhengen mellom hyperbolsk og sfærisk geometri viser seg å være av dyp betydning.
Hyperbolske geometrier ble av stor betydning for utviklingen av moderne matematikk. Også innen teoretisk fysikk og kosmologi har disse nye geometriene funnet mange anvendelser.