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常見表達形式為a+bi (a, b∈R, i²=-1) 的數 来自维基百科,自由的百科全书
複數,為實數的延伸,它使任一多項式方程都有根。複數當中有個「虛數單位」,它是的一个平方根,即。任一複數都可表達為,其中及皆為實數,分別稱為複數之「實部」和「虛部」。
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複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上,「複」字表明所討論的數體為複數,如複矩陣、複變函數等。
形式上,複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加,減和乘,並施加規則。此外,複數也可以除以非零複數。總體而言,複數系統是一個域。
在幾何上,複數通過將水平軸用於實部,將垂直軸用於虛部,將一維數線的概念擴展到二維複平面。這些數字的點位於複平面的垂直軸上。虛部為零的複數可以看作是實數。
但是,複數允許使用更豐富的代數結構,其中包括在向量空間中不一定可用的附加運算。例如,兩個複數的乘積總是再次產生一個複數,並且不應將其誤認為是涉及向量的常規“乘積”。
最早提到有關負數的平方根的文獻出於公元1世紀古希腊数学家亞歷山卓的希羅,他考慮的是一種不可能的平頂金字塔的體積,計算結果會是 ,但這對他是不可理解的,所以他只單純地把為正的。[1]
16世紀意大利數學家(請參看塔塔利亞和卡爾達諾)得出一元三次和四次方程式的根的表達式,並發現即使只考慮實數根,仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒稱負數方根為虛數,「子虛烏有的數」,表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣莫弗及歐拉大力推動複數的接受。1730年,棣莫弗提出棣莫弗公式:
18世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕尔·韦塞尔提出複數可看作平面上的一點。[3]數年後,高斯再提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上,以當今標準來看,也是相當清楚和完備。他又考慮球体,得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章,而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及,他發表了一篇備忘錄,奠定複數在數學的地位。[4] 柯西及阿贝尔的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家的注意,包括库默尔(1844年)、克罗内克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、喬治·皮科克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比乌斯發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念,例如質數,推廣至複數。
費迪南·艾森斯坦研究,其中是的複根。其他如 (是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為库默尔的完美數理論,經由菲利克斯·克莱因(1893年)以幾何角度加以簡化。伽羅華其後提出更一般的推廣——阿貝爾-魯菲尼定理,解決了五次以上多項式的根不能表達問題。
尽管可以使用其他表示法,复数通常写为如下形式:
这裡的和是实数,而i是虛數單位,它有着性质。实数叫做复数的实部,而实数叫做复数的虚部。实数可以被认为是虚部为零的复数;就是说实数等价于复数。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”;而实部不為零且虚部也不为零的复数也被称作“非純虚数”或“雜虛數”。
例如,是复数,它的实部为3虚部为2。如果,则实部()被指示为或,而虚部()被指示为或。
复数中的虚数是无法比较大小的,即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的,当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说,設,,,為實數,則当且仅当并且。
複數數系是一個體,複數體常以來表示。
一個實數等同於複數,故實數體為複數體的子體。虛數單位就是複數。此外,還有:
先把坐标轴画出来,横的叫实轴,竖的叫虚轴,然后确定0的位置,可以用二维空间来表示出来。
复数可以被看作在被称为阿甘得图(得名於让-罗贝尔·阿冈,也叫做高斯平面)的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数可以用笛卡尔(直角)坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部和虚部。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。
對所有及,有
當定義了距離,複數體便成了度量空间,我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。
的共軛複數定義為,記作或。如圖所示,是关于實數轴的「对称点」。有
對於所有代數運算,共軛值是可交換的。這即是說。一些非代數運算如正弦「」亦有此性質。這是由於的不明確選擇——有二解。可是,共軛值是不可微分的(參見全纯函数)。
一複數的「幅角」或「相位」為。此值對模而言是唯一的。
對於乘法和除法分別有:
考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点X, B, A的三角形是全等的。
两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。
点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。
复数也可以用极坐标来表示。所对应的极坐标由叫做绝对值或模的和叫做辐角的组成。若,不论值为何,。为了避免一个复数具有多种极坐标表示的情况,通常会设置,从而让所对应的具有唯一的值:。时,复数在辐角模以后是唯一的;就是说,对于两个被视为极坐标表示的复数而言,若它们的辐角之差是的整数倍数,则这两个复数等价。因此,通常会限制在区间内,也就是说,以此来避免一个复数具有多种极坐标表示的情况。
极坐标形式的写法
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。 使用欧拉公式还可以写为
这叫做“指数形式”。
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式得到
和
依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算,
任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法,乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以对应于一个逆时针旋转90 度( 弧度)。方程的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(弧度)旋转。甚至算术中的都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。
任何数的所有方根,实数或复数的,都可以用简单的算法找到。次方根给出为
对于,这裡的表示的主次方根。
這是個實用價值不大,但具數學意義的表達式,是將複數看作能旋轉及縮放二維位置矢量的2×2實數矩陣,即是
其中及為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。此外
即實數1對應着單位矩陣
而虛數單位對應着
此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉,它的平方就是-1。
複數的絶對值就是行列式的平方根。這些矩陣對應相應的平面變換,其旋轉角度等於複數的徧角,改變比例等於複數的絶對值。複數的軛就是矩陣的轉置。
滿足的複數z是多項式的“根”。代數基本定理指出,所有次多項式,不管實數系數抑或複數系數的,都剛好有個複數根(重根按个计算)。這定理等價於複數體是代數閉體。
事實上,複數體是實數體的代數閉包。它是多項式環經由理想顯生出的商環:
這是一個體因為為不可約多項式,而在商環內對應着虛數單位。
複數體唯一(就體同構來說)的體擁有三項代數特征:
在上不可能建立與其加法及乘法相容之全序關係,即不存在一全序使得對於任意複數,有。
计算一个实数的复数幂是可以的。可以定义为。
研究複變函數的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果,最自然的證明經常是以複分析的技巧完成(例子可見質數定理)。
複變函數的圖像是四維的,所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像,可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊,或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。
在系统分析中,系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在複平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在複平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面,根轨迹法都很重要。如果系统极点
如果稳定系统的全部零点都位于左半平面,则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称,则这是全通系统。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值表示信号的幅度,辐角表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的複函數的实部表示:
其中对应角频率,复数包含了幅度和相位的信息。
电路分析中,引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。(有时用字母作为虚数单位,以免与电流符号i混淆。)
在應用層面,複分析常用以計算某些實值的反常積分,藉由複值函數得出。方法有多種,見圍道積分方法。
實際應用中,求解給定差分方程模型的系統,通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有複特徵根r,再將系統以形爲f(t)= ert的基函數的線性組合表示。
复数的平方根是可以计算的。其公式为。
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