歐拉恆等式

歐拉恆等式是指下列的關係式：

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$

从${\displaystyle {{e}^{0}}=1}$开始，以相对速度i，走π长时间，加1，则到达原点

其中${\displaystyle e\,}$是自然對數的底，${\displaystyle i\,}$是虛數單位，${\displaystyle \pi \,}$是圓周率。

這條恆等式第一次出現於1748年，瑞士數學、物理學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的書《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）。這是複分析的歐拉公式之特殊情況。

證明

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$（歐拉公式）

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,}$（代入${\displaystyle x=\pi \,}$）

${\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}$（因${\displaystyle \cos \pi =-1}$和${\displaystyle \sin \pi =0}$）

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$

與歐拉恆等式有關的文學作品

《博士熱愛的算式》（博士の愛した数式），小川洋子著，臺灣版本由王蘊潔翻譯，二版，麥田出版社，2008年，ISBN 978-986-173-408-8。

参见

• 欧拉公式

參考文獻

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