环 (代数)

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。

環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。

定義

給定一個集合 ${\displaystyle R}$ 以及兩個定義在 ${\displaystyle R}$ 上的二元運算 ${\displaystyle +}$ 和 ${\displaystyle \times }$ ^{[註 1]}。如果 ${\displaystyle R}$ 、 ${\displaystyle +}$ 和 ${\displaystyle \times }$ 具有以下八個性質^{[註 2]}，則稱 ${\displaystyle (R,+,\times )}$ ^{[註 3]}構成了一個環。

1. ${\displaystyle (R,+)}$ 是一個交換群：
   • 加法有結合律——對所有的 ${\displaystyle a,b,c\in R}$ ，都有：$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$$
   • 加法有交換律——對所有的 ${\displaystyle a,b\in R}$ ，都有：$${\displaystyle a+b=b+a}$$
   • 有加法單位元——存在某個^{[註 4]} ${\displaystyle 0_{R}\in R}$ ，使得所有的 ${\displaystyle r\in R}$ ，都有： $${\displaystyle 0_{R}+r=r}$$
   • 有加法反元素——對所有的 ${\displaystyle r\in R}$ ，存在某個^{[註 4]} ${\displaystyle -r\in R}$ ，使得： $${\displaystyle -r+r=0}$$
2. ${\textstyle (R,\times )}$ 是一個有單位元的半群：
   • 乘法有結合律——對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ ，都有： $${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$$
   • 有乘法單位元——存在某個^{[註 4]} ${\displaystyle 1_{R}\in R}$ ，使得所有的 ${\displaystyle r\in R}$ ，都有：$${\displaystyle 1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r}$$
3. 乘法對於加法滿足分配律：
   • （左）分配律——對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ ，都有：$${\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)}$$
   • （右）分配律——對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ ，都有：$${\displaystyle (a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)}$$

環的乘法經常依照慣例^{[註 5]}，不會寫出「 ${\displaystyle \times }$ 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：$${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$$此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

定義的分歧

環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、大衛·艾森佈德（英语：David_Eisenbud）、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ identity ）的環（ ring ）稱為 rng ^{[註 6]}或偽環（ pseudo-ring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。

另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

例子

• 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 、有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 、實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是 ${\displaystyle 0}$ ，乘法單位元是 ${\displaystyle 1}$ ，是最典型的實際例子。
• 整係數多項式環 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 、有理係數多項式環 ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ，實係數多項式環 ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ 、複係數多項式環 ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是 ${\displaystyle 0}$ ，乘法單位元也是 ${\displaystyle 1}$ 。更一般地，可以考慮任何環 ${\displaystyle R}$ 的多項式環 ${\displaystyle R[x]}$ 。
• 整係數有理函數 ${\displaystyle \mathbb {Z} (x)}$ 、有理係數有理函數 ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ，實係數有理函數 ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ 、複係數有理函數 ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ ，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是 ${\displaystyle 0}$ ，乘法單位元依然是 ${\displaystyle 1}$ 。更一般地，可以考慮任何環 ${\displaystyle R}$ 的有理函數環 ${\displaystyle R(x)}$ ；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
• 大小為 ${\displaystyle n\times n}$ 的整係數矩陣 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {Z} )}$ 、有理係數矩陣 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {Q} )}$ 、實係數矩陣 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ 、或複係數矩陣 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {C} )}$，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 ：$${\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$乘法單位元則是單位矩陣 ：$${\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$同樣的，可以考慮任何環 ${\displaystyle R}$ 的矩陣環 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}$ 。矩陣環也是典型的非交換環。
• 如果集合 ${\displaystyle R}$ 只有一個元素，那 ${\displaystyle R}$ 只可能定義出唯一的一種環結構——零環（英语：Zero ring）^{[註 7]}（ Zero ring ）。

基本性質

• 零元素是唯一的
• 零乘以^{[註 8]}任何東西都是零
• 乘法單位元是唯一的
• 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
• 多個環元素的分配律：$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}}$$
• 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：$${\displaystyle na:=\underbrace {a+a+\cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad (-n)a:=\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots (-a)} _{n{\text{ 次}}}\qquad 0a:=0_{R}}$$這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：
  • ${\displaystyle n(ab)=(na)b=a(nb)}$
  • ${\displaystyle (nm)a=n(ma)=m(na)}$
  • ${\displaystyle n(a+b)=na+nb}$
  • ${\displaystyle (n+m)a=na+ma}$

而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以^{[註 9]}定義冪運算：$${\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}}$$

• 二項式展開——如果 ${\displaystyle ab=ba}$ ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：$${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-2}}a^{2}b^{n-2}+{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{i+j=n}{\frac {n!}{(i!)(j!)}}a^{i}b^{j}}$$這可以推廣到多個元素 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$ 總和的次方——如果任兩個元素的 ${\displaystyle a_{i}}$ 和 ${\displaystyle a_{j}}$ 的乘法都可以交換（即 ${\displaystyle a_{i}a_{j}=a_{j}a_{i}}$ ），那麼：$${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}}$$

基本的相關概念

特殊的環元素

在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環^{[註 10]}中都有定義，它們是經常被討論的對象：

• 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。
• 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。
• 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。
• 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。

環同態、核、像

主条目：环同态

在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 ${\displaystyle R}$ 送往環 ${\displaystyle S}$ 的環同態（ Ring homomorphism ）${\displaystyle f:R\to S}$ 簡單來說是一種「維持環結構^{[註 11]}」的映射；而具體來說，${\displaystyle f}$ 要具有以下三個性質：

• 維持加法的結構——對所有的 ${\displaystyle a,b\in R}$ ，都有：$${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$$
• 維持乘法的結構——對所有的 ${\displaystyle a,b\in R}$ ，都有：$${\displaystyle f(ab)=f(a)(b)}$$
• 維持單位元的結構——也就是：$${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$$

對一個環同態 ${\displaystyle f}$ 來說，有以下兩個密切相關的概念：

• 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：$${\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R}$$
• 像（ Image ）——把元素都送過去後的結果：$${\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S}$$

子環、（雙邊）理想、商環

主条目：理想 (环论)、商環和子環

給定一個環 ${\displaystyle R}$ ，我們可以考慮它的：

• 子環（ Subring ）——某個送往 ${\displaystyle R}$ 的環同態在${\displaystyle R}$ 內的像。^{[註 12]}

• 雙邊理想（ Two side ideal ）——某個定義在${\displaystyle R}$ 上的環同態的核。
• 商環（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在${\displaystyle R}$ 上的環同態的像。^{[註 13]}

一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

具有額外性質的環

交換環（ commutative ring ）

如果一個環 ${\displaystyle R}$ 還額外滿足：

乘法的交換律：對於所有 ${\textstyle a,b\in R}$：

$${\displaystyle a\times b=b\times a}$$

則稱 ${\displaystyle R}$ 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：

• 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。
• 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。
• 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。
• 歐幾里得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。
• 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。
• 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式^{[註 14]}都有根的體。

非交換環

所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：

• 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。
• 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。

從已知的環建構出其他環的方式

直積

主条目：環的直積（英语：Product of rings）

給定數個環 ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積：

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}:=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in R_{1},a_{2}\in R_{2},\dots ,a_{n}\in R_{n}\}}$$可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：

$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})}$$$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},\dots ,a_{n}\times b_{n})}$$這使得${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$構成一個環。稱為 ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ 的直積（ Direct product ）；它的法單位元是 ${\displaystyle (0_{R_{1}},0_{R_{2}},\dots ,0_{R_{n}})}$ 乘法單位元是 ${\displaystyle (1_{R_{1}},1_{R_{2}},\dots ,1_{R_{n}})}$

這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

多項式環

主条目：多项式环

給定一個環 ${\displaystyle R}$ ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：$${\displaystyle R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}~{\Bigg |}~a_{i}\in R,n=1,2,3,\dots \right\}}$$可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：$${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$$$${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\times \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}\right)x^{i}}$$在這樣的運算規則下， ${\displaystyle R[x]}$ 被稱為是 ${\displaystyle R}$ 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 ${\displaystyle R}$ 相同。

矩陣環

主条目：矩阵环和方块矩阵

給定一個環 ${\displaystyle R}$ ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 ${\displaystyle n\times n}$ 的矩陣：

$${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R):=\left\{{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}~{\bigg |}~a_{i,j}\in R,\quad i,j=1,2,\dots ,n\right\}}$$同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$那麼 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}$ 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ：$${\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$乘法單位元則是單位矩陣 ：$${\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&1_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &1_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}$$同樣的，可以考慮任何環 ${\displaystyle R}$ 的矩陣環 ${\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)}$ 。矩陣環也是典型的非交換環。

局部化與分式體

主条目：環的局部化

局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

交換環與代數幾何的關係

交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 ${\displaystyle \mathbf {CRing} }$ 和仿射概形範疇 ${\displaystyle \mathbf {AffSch} }$ 有著如下對偶性：

$${\displaystyle \mathbf {CRing} ^{\mathrm {op} }\cong \mathbf {AffSch} }$$

這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

參見

• 模
• 理想
• 代數
• 偽環

備註

1. 分別稱為「${\displaystyle R}$ 的加法」和「${\displaystyle R}$ 的乘法」
2. 稱為環公理
3. 意思是${\displaystyle R}$ 連同 ${\displaystyle +}$ 和 ${\displaystyle \times }$ 這兩個二元運算一同提及
4. 可以證明這樣子的元素實際上是唯一的
5. 在不致混淆的情況下。
6. 暫無廣為接受的中文翻譯
7. 或稱平凡環（ Trivial ring ）
8. 不論是乘在左邊還是乘在右邊
9. 這邊暫定 ${\displaystyle a}$ 有成法反元素。如果沒有乘法反元素，那麼有關負數次方的結果不一定成立。
10. 甚至是沒有單位元的環
11. 另一種說法是不摧毀環結構。因為環同態確實會改變環的結構。
12. 這個環同態實際上就是嵌入
13. 同構定理
14. 不包括常數多項式

引用

參考文獻

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不要求「環」要有乘法單位元的教科書

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外部連結

• Database of Ring Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） 一個紀錄了大量環的性質的資料庫
• 《數學百科全書》對環的定義 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MathWorld 對環的定義 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• nLab（英语：nLab） 對環的定義 （页面存档备份，存于互联网档案馆）