交換律 （英語：Commutative property ）是被普遍使用的一個數學 名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明 需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定义[ 1] [ 2]
一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子
交換律 是一個和二元運算 及函數 有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論 和集合論 中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析 和線性代數 中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法 和乘法 ）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。[ 3] [ 4] [ 5]
「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中[ 6] [ 7]
1. 在集合
S
{\displaystyle S}
二元運算
∗
{\displaystyle *}
∀
x
,
y
∈
S
,
x
∗
y
=
y
∗
x
{\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}
2. 若稱
x
{\displaystyle x}
∗
{\displaystyle *}
y
{\displaystyle y}
x
∗
y
=
y
∗
x
{\displaystyle x*y=y*x}
3. 一二元函數
f
:
A
×
A
→
B
{\displaystyle f:A\times A\to B}
∀
x
,
y
∈
A
,
f
(
x
,
y
)
=
f
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}
Commutative這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上 對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人 用乘法 的交換律來簡化乘積 的計算。[ 8] [ 9] 歐幾里得 在《幾何原本 》中已有假定了乘法交換律的存在。[ 10]
第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[ 11] [ 12] 英國皇家學會哲學彙刊 中。[ 11]
顯示加法函數對稱性的圖
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。
洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。
串接 （將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
魔術方塊 是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論 中。
O'Conner and Robertson, Real Numbers
Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
O'Conner and Robertson, Servois
Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book. Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8 . Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book. Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations. Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text . London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2 Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus .
Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Krowne, Aaron, Commutative PlanetMath ., Accessed 2007-08-08.
Definition of commutativity and examples of commutative operations
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Examples proving some noncommutative operations O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers . MacTutor. [2007-08-08 ] . （原始内容 存档于2009-09-18）.
Article giving the history of the real numbers Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms . [2008-11-22 ] . （原始内容 存档于2011-05-01）.
Page covering the earliest uses of mathematical terms O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois . MacTutor. [2007-08-08 ] . （原始内容 存档于2009-09-02）.
Biography of Francois Servois, who first used the term 
