在數學 上，超現實數系統 （英語：Surreal Numbers 連續統 ，其中含有實數 以及無窮 量，即無窮大 （小 ）量，其絕對值 大（小）於任何正實數 。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係 「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域 [ 註 1] 集合論 意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域 、實數域 、有理函數域 、列維-奇維塔域 上超實數域 超實數域 等，全都是超現實數域的子域 。超現實數域也包含可達到的、在集合論 裡構造過的所有超限 序數 。
超现实数树的可视化。 关于与「
超現實數 」標題相近或相同的条目页，請見「
超實數 」。
超現實數是由約翰·何頓·康威 （John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納 （Donald Knuth）在他的書《研究之美》[ 註 2] [ 1] [ 2]
为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：
1
3
=
{
0
,
1
4
,
5
16
,
…
|
1
2
,
3
8
,
…
}
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
π
=
{
3
,
25
8
,
201
64
,
…
|
4
,
7
2
,
13
4
,
51
16
,
…
}
{\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}
根据归纳法，我们可以构造出
ω
=
{
0
,
1
,
2
,
3
…
|
}
{\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}
ω
−
1
=
{
0
,
1
,
2
,
3
…
|
ω
}
{\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}
1
ω
=
{
0
|
1
,
1
2
,
1
4
,
1
8
…
}
{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}
我们定义
P
0
=
0
{\displaystyle P_{0}={0}}
若
x
=
{
L
|
R
}
,
L
,
R
⊂
P
i
{\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}
x
∉
P
i
{\displaystyle x\not \in P_{i}}
x
∈
P
i
+
1
{\displaystyle x\in P_{i+1}}
x
{\displaystyle x}
i
{\displaystyle i}
那么我们可以观察发现：
1
,
−
1
∈
P
1
{\displaystyle 1,-1\in P_{1}}
2
,
−
2
,
1
2
,
−
1
2
∈
P
2
{\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}
π
,
ω
,
1
3
∈
P
ω
{\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}
ω
−
1
,
ω
+
1
∈
P
ω
+
1
{\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}
ω
+
π
∈
P
2
ω
{\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}
2
ω
=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
ω
+
1
,
ω
+
2
,
…
|
}
{\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}
∀
i
∈
O
r
d
:
i
∈
P
i
{\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}
我们将超现实数集合称作
N
o
{\displaystyle \mathbb {No} }
给定
x
=
{
X
L
|
X
R
}
,
y
=
{
Y
L
|
Y
R
}
{\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
没有一个
x
L
∈
X
L
{\displaystyle x_{L}\in X_{L}}
y
≤
x
L
{\displaystyle y\leq x_{L}}
没有一个
y
R
∈
Y
R
{\displaystyle y_{R}\in Y_{R}}
y
R
≤
x
{\displaystyle y_{R}\leq x}
那么可以自然地定义
x
<
y
,
x
>
y
,
x
=
y
,
x
≥
y
{\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y}
全序关系 。
我们分别将
x
<
0
,
x
>
0
,
x
≤
0
,
x
≥
0
{\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
我们定义
x
‖
y
{\displaystyle x\|y}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
同时不成立 。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈 章节出现。
我们定义超现实数之间的加法 为
x
+
y
=
{
X
L
+
y
∪
x
+
Y
L
|
X
R
+
y
∪
x
+
Y
R
}
{\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}
X
+
y
=
{
x
+
y
|
x
∈
X
}
,
x
+
Y
=
{
x
+
y
|
y
∈
Y
}
{\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}
我们定义负号（加法逆元 ）为
−
x
=
{
−
X
R
|
−
X
L
}
{\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}
−
X
=
{
−
x
|
x
∈
X
}
{\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}
可以验证这两个运算构成了（真类 上的）阿贝尔群 。
我们定义乘法 运算为
x
y
=
{
(
X
L
y
+
x
Y
L
−
X
L
Y
L
)
∪
(
X
R
y
+
x
Y
R
−
X
R
Y
R
)
|
(
X
L
y
+
x
Y
R
−
X
L
Y
R
)
∪
(
X
R
y
+
x
Y
L
−
X
R
Y
L
)
}
{\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}
X
Y
=
{
x
y
|
x
∈
X
,
y
∈
Y
}
,
x
Y
=
{
x
}
Y
,
X
y
=
X
{
y
}
{\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}
我们定义（正数的）乘法逆元 为
1
y
=
{
0
,
1
+
(
y
R
−
y
)
(
1
y
)
L
y
R
,
1
+
(
y
L
−
y
)
(
1
y
)
R
y
L
|
1
+
(
y
L
−
y
)
(
1
y
)
L
y
L
,
1
+
(
y
R
−
y
)
(
1
y
)
R
y
R
}
{\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}
x
y
=
x
(
1
y
)
{\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}
递归 的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取
y
=
3
=
{
2
|
}
{\textstyle y=3=\{2|\}}
1
3
{\textstyle {\frac {1}{3}}}
0
{\textstyle 0}
1
+
(
2
−
3
)
0
2
=
1
/
2
{\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}
1
+
(
2
−
3
)
(
1
2
)
2
=
1
4
{\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}
1
+
(
2
−
3
)
(
1
4
)
2
=
3
8
{\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}
1
3
=
{
0
,
1
4
,
5
16
,
…
|
1
2
,
3
8
,
…
}
{\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
对于负数，我们定义
1
x
=
−
1
−
x
(
x
<
0
)
{\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}
所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。
我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[ 4]
O
r
d
{\displaystyle \mathbb {Ord} }
f
:
O
r
d
→
N
o
,
f
(
X
)
=
{
f
(
x
)
,
x
∈
X
|
}
{\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}
这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如
ω
−
1
{\displaystyle \omega -1}
ω
{\displaystyle \omega }
{
0
,
1
,
2
,
…
|
ω
}
{\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}
超現實數（Surreal）
無窮量（Infinitesimal）
格羅滕迪克 宇集
《研究之美》（Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness）
現在本書的中文譯文已經在大陸出版，見存档副本 . [2012-05-10 ] . （原始内容存档 于2012-03-16）. E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I . Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9 E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II . Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7 
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
