艾森斯坦整数 是具有以下形式的复数 :
z
=
a
+
b
ω
{\displaystyle z=a+b\omega \,\!}
艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。
其中a 和b 是整数 ,且
ω
=
1
2
(
−
1
+
i
3
)
=
e
2
π
i
3
{\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}}
是三次单位根 。艾森斯坦整数在复平面 上形成了一个三角形点阵。高斯整数 则形成了一个正方形点阵。
艾森斯坦整数在代数数域
Q
(
ω
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}
中形成了一个代数数 的交换环 。每一个z = a + b ω都是首一多项式
z
2
−
(
2
a
−
b
)
z
+
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
.
{\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}
的根。特别地,ω满足以下方程:
ω
2
+
ω
+
1
=
0
{\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}
因此,艾森斯坦整数是代数数 。
艾森斯坦整数的范数 是它的绝对值 的平方,由以下的公式给出:
|
a
+
b
ω
|
2
=
a
2
−
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}
因此它总是整数 。由于:
4
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
=
(
2
a
−
b
)
2
+
3
b
2
,
{\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}
因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。
艾森斯坦整数环中的可逆元群 ,是复平面中六次单位根 所组成的循环群 。它们是:
{±1, ±ω, ±ω2 }
它们是范数为一的艾森斯坦整数。
设x 和y 是艾森斯坦整数,如果存在某个艾森斯坦整数z ,使得y = z x ,则我们说x 能整除y 。
它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数 的概念:一个非可逆元的艾森斯坦整数x 是艾森斯坦素数,如果它唯一的因子是ux 的形式,其中u 是六次单位根的任何一个。
我们可以证明,任何一个被3除余1的素数都具有形式x 2 −xy +y 2 ,因此可以分解为(x +ωy )(x +ω2 y )。因为这样,它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式,因此它们也是艾森斯坦素数。
任何一个艾森斯坦整数a + b ω,只要范数a 2 −ab +b 2 为素数,那么就是一个艾森斯坦素数。实际上,任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式,要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。
艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域 ,其范数N 由以下的公式给出:
N
(
a
+
b
ω
)
=
a
2
−
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}
这是因为:
N
(
a
+
b
ω
)
=
|
a
+
b
ω
|
2
=
(
a
+
b
ω
)
(
a
+
b
ω
¯
)
=
a
2
+
a
b
(
ω
+
ω
¯
)
+
b
2
=
a
2
−
a
b
+
b
2
{\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}
Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.