阿列夫數

在集合論中，阿列夫數或艾禮富數是一連串超窮基數。其標記符號為 ℵ （由希伯來字母א‎(aleph)演變而來）加角標表示。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

可數集（包括自然數）的勢標記為${\displaystyle \aleph _{0}}$，下一個較大的勢為${\displaystyle \aleph _{1}}$，再下一個是${\displaystyle \aleph _{2}}$，以此類推。一直繼續下來，便可以對任一序數 α 定義一個基數${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$。

這一概念來自於康托尔，他定義了勢，並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。

阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 (∞) 不同。阿列夫數用来衡量集合的大小，而無限只是在極限的寫法中出現，或是定義成擴展的實數軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數，而無限只是無限而已。

構造性定義

阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麽叫“下一個較大的勢”，也沒有證明是否存在“下一個較大的勢”。即便承認對任意的基數都存在更大的基數，是否存在“下一個較大的勢”使得這個基數和“下一個較大的基數”之間不再有其他的基數仍然是個問題。下面的構造型定義解決這個問題：^[1]:28

• ℵ₀定義從前，它是一個良序集ℕ的序數；
• 考慮良序集^[1]:25按照某种同構關係^{[注 1]}划出的等價類^{[1]:18[注 2]}；
  • 如上定義的等價類有一個特點：可比較^[1]:25，
• 設ℵ_a已定義且是一良序集的基數，考慮：
  1. 由於ℵ_a是某良序集的基數，這個良序集必存在于某個等價類中；一定還有其他基數爲ℵ_a的良序集，這些良序集必將也存在于某個等價類中（可能與上面的同屬同一個等價類，但不一定）。所有這些等價類^{[注 3]}將做成一集，記爲Z(ℵ_a)。
  2. Z(ℵ_a)也是良序集。^[1]:27
  3. 定義ℵ_a+1:= card(Z(ℵ_a))，它是一個良序集的基數。

阿列夫1

${\displaystyle \aleph _{1}}$是所有可數序數集合的勢，稱為 ω₁或有時為Ω。這個ω₁本身是一個比所有可數序數更大的序數，因此它為一個不可數集。

數“阿列夫”

在中國大陸，實數集的基數常被記爲𝖈或 ℵ，卽 ℵ := ℶ₁，這樣連續統假設就常常被表述爲 ℵ = ℵ₁．閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學數學分析（微積分）時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数，事實上他們遇到的是 “ℵ”或“𝖈”，卽角標爲1的 ℶ 數。除非討論集合論，否則阿列夫数將是最不常用的基數之一。

另見

• 格奧爾格·康托爾
• 基數
• 不可數集合
• 連續統假設：不存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合。

註釋

1. 卽……
2. 如果把這樣定義的等價類看成該集合莫須有的“末元素”的話，就把它叫做序數。
3. 基於前面所說的此類等價類的一些性質，這些等價類（或序數）……

參考文獻

1. 陳建功. 實函數論. 北京: 科學出版社. 1958.9. CSBN 13031·41. 请检查|date=中的日期值 (帮助)

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Aleph-0. MathWorld.
• aleph numbers at PlanetMath.