在數學中,特殊線性群 SL₂(ℝ) 是行列式為 1 的 2×2 實矩陣組成的群:
,且
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Quick Facts 群論, 基本概念 ...
群論
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群
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無限維群
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共形群 微分同胚群
環路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
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它是一個三維李群,在幾何、拓撲、表示論及物理中有重要應用.
與 SL₂(ℝ) 密切相關的是射影線性群 PSL₂(ℝ)。這是將 SL₂(ℝ) 中每個元素與它的負元素等同得到的商:
![{\displaystyle {\mbox{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )={\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )/\{-1,+1\}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2aa6da25d2e0ee627e55dcb55afd43fd73449f9)
一些作者將這個群記做 SL(2,ℝ).這是一個單李群,包含模群 PSL₂(ℤ).
SL2(ℝ) 是 ℝ2 上所有保持定向面積的線性變換群。它同構於辛群 Sp2(ℝ) 以及廣義特殊酉群 SU(1,1)。它也同構於單位長共四元數群。
商 PSL2(ℝ) 有多個有趣的描述:
PSL2(ℝ) 的元素做為線性分式變換作用在實射影直線
上:
![{\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35321f9ec792e1f7ad6a907222b67f3c783c81a)
這類似於 PSL2(ℂ) 通過莫比烏斯變換在黎曼球面上的作用。這是 PSL2(ℝ) 在雙曲平面上的作用限制到無窮遠邊界。
PSL2(ℝ) 中的元素通過莫比烏斯變換作用在複平面上:
這裡 ![{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} {\mbox{)}}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5246c85947c95acf6fe3d0c3f67fed70126490cc)
這正好是保持上半平面的莫比烏斯變換集合。從而 PSL2(ℝ) 是上半平面的共形自同構群。由黎曼映射定理,它也是單位圓盤的共形自同構群。
這些莫比烏斯變換是雙曲空間上半平面模型的等距,而圓盤相應的莫比烏斯變換是龐加萊圓盤模型的雙曲等距。
群 SL2(ℝ) 通過共軛作用在它的李代數 SL2(ℝ) 上,導致 PSL2(ℝ) 的一個忠實 3 維線性表示。這也可以描述為 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。結果是如下表示
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{bmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb739983e238aa0ac0af8b2ee8a2fbac99e7220)
sl2(ℝ) 上的基靈型有符號 (2,1),誘導了 PSL2(ℝ) 與洛倫茲群 SO+(2,1) 之間一個同構。PSL2(ℝ) 在閔可夫斯基空間上的作用限制成 PSL2(ℝ) 在雙曲空間的雙曲面模型上的等距。
SL2(ℝ) 中一個元素 A 的本徵值滿足特徵多項式
![{\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0,\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff972b60adb5d5344f79c886506729da34cc9e48)
從而
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b42a0bbab74e8cf9dda14495448fbcede876ae)
這導致了如下元素分類:
- 如果 | tr(A) | < 2,則 A 稱為橢圓型。
- 如果 | tr(A) | = 2,則 A 稱為拋物型。
- 如果 | tr(A) | > 2,則 A 稱為雙曲型。
橢圓型元素的本徵值都是複數,是單位圓周上的共軛值。這樣的元素的作用是歐幾里得空間中的旋轉,相應的 PSL2(ℝ) 元素之作用是雙曲平面與閔可夫斯基空間的旋轉。
模群的橢圓型元素的本徵值一定為 {ω, 1/ω} 形式,其中 ω 是一個本原3次、4次、或6次單位根。他們是模群中所有有限階元素,他們作用在環面上是周期性微分同胚。
拋物型元素只有一個本徵值,1 或者 -1。這樣的元素作用在歐幾里得平面上是錯切映射,相應 PSL2(ℝ) 中元素作用在雙曲平面上是極限旋轉(limit rotation),在閔可夫斯基空間上的作用是零旋轉。
模群的拋物型元素作用在環面上是德恩扭轉(Dehn twist)。
雙曲型元素的本徵值都是實數,互為倒數。這樣一個元素作用在歐幾里得空間上是擠壓映射(squeeze mapping),相應的 PSL2(ℝ) 元素作用在雙曲平面是平移,在閔可夫斯基空間上的作用是洛倫茲遞升。
模群的雙曲型元素作用在環面上是阿諾索夫微分同胚(Anosov diffeomorphism)。
SL2(ℝ) 的中心是兩個元素的群 {-1,1},商 PSL2(ℝ) 是單群。
PSL2(ℝ) 的離散子群稱為富克斯群(Fuchsian group)。他們是歐幾里得壁紙群(wallpaper group)和飾帶群(Frieze group)的雙曲類比。最有名的是模群 PSL2(ℤ),它作用在雙曲平面由理想三角形形成的嵌圖上。
圓群SO(2)是 SL2(ℝ) 的一個極大緊子群,圓 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2(ℝ) 的一個極大緊子群。
PSL2(ℝ) 的舒爾乘子(Schur multiplier)是 ℤ,萬有中心擴張與萬有覆蓋群相同。
主條目:SL2(R)的表示理論
SL2(ℝ) 是一個實非緊單李群,也是復李群 SL2(ℂ) 的分裂實形式。SL2(ℝ) 的李代數記做 sl2(ℝ),是所有跡為零的 2×2 實矩陣。 它是 VIII 型比安基代數。
SL2(ℝ) 的有限維表示理論等價於SU(2)的表示理論,這是 SL2(ℂ) 的緊實形式。特別地 SL2(ℝ) 沒有非平凡有限維酉表示。
SL2(ℝ) 的無限維表示理論相當有意思。這個群有多類酉表示,這被蓋爾范德、奈馬克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 詳細地解決了。
- 線性群
- 特殊線性群
- 射影線性群(projective linear group)
- 雙曲等距(hyperbolic isometry)
- 模群(modular group)
- 莫比烏斯變換
- 射影變換
- 富克斯群(Fuchsian group)
- 李群列表(Table of Lie groups)
- V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group,The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
- Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
- Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
- Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
- William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5