環面

在幾何上，一個環面是一個手鐲形狀的旋轉曲面，由一個圓繞一個和該圓共面的一個軸迴轉所生成。球面可以視為環面的特殊情況，也就是旋轉軸是該圓的直徑時。若轉軸和圓不相交，圓面中間有一個洞，就像一個手鐲、甜甜圈、呼啦圈，或者一個充了氣的輪胎。另一個情況，也就是軸是圓的一根弦的時候，就產生一個擠扁了的球面，就像一個圓的座墊那樣。英文Torus曾是拉丁文的這種形狀的座墊。

一個環面。

幾何

圓環面可以參數式地定義為：

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$

${\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$

${\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}$

其中

u, v ∈ [0, 2π],

R是管子的中心到畫面的中心的距離，

r是圓管的半徑。

直角坐標系中的關於z-軸方位角對稱的環面方程是

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$

該圓環面的表面積和內部體積如下

${\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}$

${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,}$

根據更一般的定義，環面的生成元不必是圓，而可以是橢圓或任何圓錐曲線。

拓撲

一個環面是兩個圓的乘積。

將一個有小洞的環面翻轉。

拓撲學上，一個環面是一個定義為兩個圓的積的閉合曲面：S¹ × S¹。 上述曲面，若採用R³誘導的相對拓撲，則同胚於一個拓撲環面，只要它不和自己的軸相交。

該環面也可用歐幾里得平面的一個商空間來表述，這是通過如下的等價關係來完成的

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)

或者等價地說，作為單位正方形將對邊粘合的商空間，表述為基本多邊形 ${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$。

環面的基本群是圓的基本群和自身的直積：

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

直觀地講，這意味著一個先繞著環面的「洞」（譬如，沿著某個緯度方向的圓）然後繞著環面「實體」（譬如，沿著特定經度方向的圓）的閉路徑可以變形成為先繞實體後繞空心的路徑。所以，嚴格的經度方向和嚴格的緯度方向的路徑是可交換的。這可以想像成為兩個鞋帶互相穿過然後解開再繫上。

環面的第一同調群和基本群同構（因為基本群是交換群）。

高維度的環面

環面很容易推廣到任意維。n維標準環面可以定義為 n 個標準圓的乘積：

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}}$

上面所述的環面就是 ${\displaystyle n}$ 維環面。 ${\displaystyle 1}$ 維環面就是圓。 ${\displaystyle 3}$ 維環面很難描述。和 ${\displaystyle 2}$ 維環面一樣， ${\displaystyle n}$ 維環面可以表述為 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 在各個坐標方向整數平移下的商空間。也即， ${\displaystyle n}$ 維環面是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 模(modulo)整數格點 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ 的群作用（該作用就是向量和）。等價地說，${\displaystyle n}$ 維環面是 ${\displaystyle n}$ 維立方體把相對的面兩兩粘合起來得到的空間。

${\displaystyle n}$ 維環是 ${\displaystyle n}$ 維緊緻流形的一個例子。它也是緊緻可交換李群的一個例子。這是因為單位圓是一個緊緻可交換李群（如果把它作為定義了乘法的單位長度複數來看）。環面上的群乘法可以定義為各坐標分別相乘。

環面群在緊緻李群理論中有重要的作用。部分原因在於所有緊緻李群中總是存在一個極大環面；也就是最大可能維度的閉子群環面。

${\displaystyle n}$ 維環面的基本群是一個n階自由可交換群。 ${\displaystyle n}$ 維環面的 ${\displaystyle k}$ 階同調群是 ${\displaystyle n}$ 取 ${\displaystyle k}$ 階的自由可交換群。因此可以推出 ${\displaystyle n}$ 維環面的歐拉示性數 是0。上同調環H^·(Tⁿ,Z)可以等同為Z-模 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$上的外代數，其生成元為 ${\displaystyle n}$ 非平凡閉鏈的對偶。

環面著色

如果把環面分成若干區域，那麼總是可以用最多7種顏色來著色，使得每對相鄰區域有不同的顏色。（這和四色問題不同。）在下面的例子中，環面被分為7個區域，兩兩相鄰，說明7色是必須的：

參見

• 代數環面
• 圓環
• 環圈
• 橢圓曲線
• 極大環面
• 周期格
• 球面
• 曲面
• 環體
• 環面 (原子物理)
• Villarceau圓
• 環面曲線

外部連結

• 環面的建立 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 位於網站
• 更多環的圖像 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (位於 趣味數學 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
• Eric W. Weisstein. "環面." 位於MathWorld--Wolfram網絡資源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 氣泡圈的圖像和視頻 位於David Whiteis的BubbleRings.com