數學上,對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的:群的每個元素作為一個對射(或者對稱作用)作用在某個集合上。在這個情況下,群稱為置換群(特別是在群有限或者不是線性空間時)或者轉換群(特別是當這個集合是線性空間而群作為線性轉換作用在集合上時)。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示(通常該集合有限),並且可以表述為置換矩陣,一般在有限的情形作此考慮-這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。
給定一個等邊三角形,通過把所有頂點映射到另一個頂點,繞三角形中心逆時針 120°旋轉「作用」在這個三角形的頂點的集合上。
若
為一個群而
為一個集合,則
在
上的一個(左) 群作用是一個二元函數
![{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfd228f21e3d3f90381426cd31a0a0e9f499e29)
(其中
和
的像寫作
),滿足如下兩條公理:
對於所有
和
成立
對於每個
成立 (
代表
的單位元素)
從這兩條公理,可以得出對於每個
,映射
到
的函數是一個對射(單射以
應付,滿射以
應付),從
映射到
。因此,也可以將
在
上的群作用定義為從
到對稱群
的群同態。
若群作用
給定,我們稱「G作用於集合X」或者X是一個G-集合。
完全一樣地,可以定義一個G在X上的右群作用為函數
,滿足以下公理:
![{\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83778d007aedd9e9dded9489a5c4b4a9bb8e7ee5)
![{\displaystyle x\cdot e=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c23cd00329cb98d42bc03d94c61f468f0a2be5)
注意左和右作用的區別僅在於象gh這樣的積在x上作用的次序。對於左作用h先作用然後是g,而對於右作用g先作用然後是h。從一個右作用可以構造一個左作用,只要和群上的逆操作複合就可以了。如果r為一右作用,則
![{\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cda02c0e035ac14096c5e82a4fff4e7cddad7d3)
是一左作用,因為
![{\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072f81c6cadcb23bbe747a667d50f1b8c1fd174c)
而
![{\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c0788d87614bdcc44ac6a22ec67f3d9aee9ce1)
所以在這裡,我們只考慮左群作用,因為右作用可以相應推理。
若S是X的一個子集,群G作用在X上( X 被稱作G-set),對於群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著
,
則我們會說 S在G的作用下是封閉的,或是說,S在G作用下是不變的
考慮一個映射
可以證明此映射是一個對射的函數,而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理
而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理,
- 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 g⋅x = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X;換句話說,每個群元素對應 X上的恆等置換。[2]
Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905.