球面 （英語：sphere ）是三維空間 中完全圓形的幾何 物體，它是圓球 的表面（類似於在二維空間中，「圓 」包圍著「圓盤 」那樣）。
就像在二維空間中的圓的定義一樣，球面在數學上定義為三維空間中離給定的點距離相同的點的集合 r [ 1] r 半徑 ，球（ball）則是由離給定點距離小於 r 直徑 。
儘管在數學之外，術語「球面」和「球」有時可互換使用，但在數學 中是明確區分的：球面 是一種嵌在三維歐幾里得空間 內的二維封閉曲面，而球 是一種三維圖形，其包括球面和球面內部 的一切（閉球 ），不過更常見的定義是只包括球面內部 的所有點，不包括 球面上的點（開球 ）。這種區別並不總是保持不變，尤其是在舊的數學文獻裡，sphere（球面）被當作固體。這與在平面 上混用術語「圓」（circle）和「圓盤」（disk）的情況類似。
在解析幾何 中，球心為 (x 0 , y 0 , z 0 ) r (x , y , z ) 軌跡
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
(
z
−
z
0
)
2
=
r
2
.
{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}
令 a, b, c, d, e a ≠ 0
x
0
=
−
b
a
,
y
0
=
−
c
a
,
z
0
=
−
d
a
,
ρ
=
b
2
+
c
2
+
d
2
−
a
e
a
2
.
{\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}
如果
ρ
<
0
{\displaystyle \rho <0}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
a
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
+
2
(
b
x
+
c
y
+
d
z
)
+
e
=
0
{\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}
沒有實數根，稱為虛球面 的方程。如果
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle f(x,y,z)=0}
P
0
=
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}
點球面 的方程。還有一種，就是在
ρ
>
0
{\displaystyle \rho >0}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle f(x,y,z)=0}
P
0
{\displaystyle P_{0}}
ρ
{\displaystyle {\sqrt {\rho }}}
[ 1]
如果上述等式中的 a f (x , y , z ) = 0無窮遠點 的球面。[ 2]
半徑
r
>
0
{\displaystyle r>0}
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
x
=
x
0
+
r
sin
φ
cos
θ
y
=
y
0
+
r
sin
φ
sin
θ
(
0
≤
φ
≤
π
,
0
≤
θ
<
2
π
)
z
=
z
0
+
r
cos
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \varphi \;\cos \theta \\y&=y_{0}+r\sin \varphi \;\sin \theta \qquad (0\leq \varphi \leq \pi ,\;0\leq \theta <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \varphi \,\end{aligned}}}
[ 3] 以原點為中心的任意半徑的球面是以下微分形式 的積分曲面：
x
d
x
+
y
d
y
+
z
d
z
=
0.
{\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y+z\,\mathrm {d} z=0.}
這個方程反映了在球面上行進的點的位置 (x , y , z ) (dx , dy , dz ) 正交 的。
球面還可以通過以任何直徑 為軸，把圓旋轉一周 形成的表面來構造。由於圓是一種特殊的橢圓 ，所以球面也是一種特殊的橢球面。橢圓圍繞其長軸旋轉形成的曲面，就是長球面 ；如果繞短軸旋轉，就會形成一個扁球面。[ 4]
將圓柱外接到一個球面上 在三維中，球面內包圍的體積 （即球 的體積）是
V
=
4
3
π
r
3
{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
其中 r 阿基米德 首先推導出了這個公式，他通過證明球體內的體積是球體內部與外接圓柱體 （具有與球體直徑相等的高度和直徑）內部之間的體積差值的兩倍而得出該公式。[ 5] 祖暅原理 得到。該公式也可以使用積分得出，即用截面積分（定積分）對無窮多的厚度無窮小的圓盤沿 x x = −r x = r r
在任何給定的 x ΔV x Δx
Δ
V
≈
π
y
2
⋅
Δ
x
.
{\displaystyle \Delta V\approx \pi y^{2}\cdot \Delta x.}
當最厚的那一個圓盤厚度趨近0時，總體積是所有增量的總和：
V
=
lim
|
|
T
|
|
→
0
∑
π
y
2
⋅
Δ
x
.
{\displaystyle V=\lim _{||T||\to 0}\sum \pi y^{2}\cdot \Delta x.}
其中 ||T T
V
=
∫
−
r
r
π
y
2
d
x
.
{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\mathrm {d} x.}
在任何給定的 x x y r 勾股定理 得出：
y
2
=
r
2
−
x
2
.
{\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}
將上式代入得到
V
=
∫
−
r
r
π
(
r
2
−
x
2
)
d
x
,
{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})\mathrm {d} x,}
積分之後就可以得出結果
V
=
π
[
r
2
x
−
x
3
3
]
−
r
r
=
π
(
r
3
−
r
3
3
)
−
π
(
−
r
3
+
r
3
3
)
=
4
3
π
r
3
.
{\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
另外，此公式也可以用球坐標系計算，體積元可以寫成
d
V
=
ρ
2
sin
φ
d
ρ
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \varphi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
因此得到三重積分 ，並算出結果如下：
V
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
π
d
φ
∫
0
r
ρ
2
sin
θ
d
ρ
=
4
3
π
r
3
.
{\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \varphi \,\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \theta \mathrm {d} \rho ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
對於大多數實際用途而言，立方體的內接球的體積可以近似為立方體體積的52.4％，這是因為 V = π / 6 d 3 d π / 6 3 。
半徑為r 表面積 為：
A
=
4
π
r
2
.
{\displaystyle A=4\pi r^{2}.}
阿基米德 首先根據「外接圓柱體側面的投影是保持面積的」這個事實推導出這個公式[ 6] [ 7] r 導數 ，因為半徑為 r r r r
在任何給定半徑 r [ 8] ΔV r A (r )Δr
Δ
V
≈
A
(
r
)
⋅
Δ
r
.
{\displaystyle \Delta V\approx A(r)\cdot \Delta r.}
總體積是所有球殼體積的總和：
V
≈
∑
A
(
r
)
⋅
Δ
r
.
{\displaystyle V\approx \sum A(r)\cdot \Delta r.}
該等式在最厚的那一個圓盤的 Δr [ 9]
V
=
∫
0
r
A
(
r
)
d
r
.
{\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,\mathrm {d} r.}
代入 V
4
3
π
r
3
=
∫
0
r
A
(
r
)
d
r
.
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,\mathrm {d} r.}
將等式兩邊對 r A r
4
π
r
2
=
A
(
r
)
.
{\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r).}
這通常寫為：
A
=
4
π
r
2
,
{\displaystyle A=4\pi r^{2},}
其中 r
再來看一種方法，球面上的面積元可以用球坐標系給出：dA = r 2 sin φ dθ dφ
d
S
=
r
r
2
−
∑
i
≠
k
x
i
2
∏
i
≠
k
d
x
i
,
∀
k
.
{\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}\mathrm {d} x_{i},\;\forall k.}
更一般性的表達，請參閱面積元 條目。
因此總面積可以通過積分 得到：
A
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
π
r
2
sin
φ
d
φ
=
∫
0
2
π
[
−
r
2
cos
φ
]
0
π
d
θ
=
4
π
r
2
.
{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin {\varphi }\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }[-r^{2}\cos {\varphi }]_{0}^{\pi }\,\mathrm {d} \theta =4\pi r^{2}.}
上圖中的球體被認為是最精確的人造球體之一，它折射 出背景中愛因斯坦 的畫像。這個球體是引力探測器B 實驗中所用的熔融石英 陀螺儀 ，它在形狀上和完美球體之間的誤差不超過40顆原子（不到10納米 ）厚度。2008年7月1日，一些來自澳大利亞 的科學家宣稱他們製造出了更加接近完美的球體，準確率為0.3納米，它的創造背景是當年科學家們在尋求一千克 的新標準。[ 10] 球面是包圍給定體積的所有曲面中面積最小的，球面還是給定表面積的所有閉合曲面中包圍體積最大的。因此球面在自然界中出現：例如，氣泡和小水滴大致為球形，因為表面張力 會局部最小化表面積。
球的質量與表面積之比稱為比表面積，可以由上述等式表示出來
S
S
A
=
A
V
ρ
=
3
r
ρ
,
{\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}
其中 ρ 密度 （質量與體積之比）。
球面由四個不共面的點唯一確定。更一般地說，球面由四個條件唯一確定，例如通過一個點、與一個平面相切，等等。 [ 11]
因此，一個球體由一個圓和一個不在該圓平面內的點唯一確定。
通過檢查兩個球面方程的共同解，可以看出兩個球相交於一個圓，包含該圓的平面稱作相交球的基本平面 。[ 12] [ 13]
在實交點處的兩個球面之間的夾角是由該點處的球體的切面確定的二面角 。兩個球面在相交圓的所有點處的夾角都是相同的。[ 14] 正交 ）。[ 2]
如果 f (x , y , z ) = 0g (x , y , z ) = 0
s
f
(
x
,
y
,
z
)
+
t
g
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}
當參數 s t 球面束 。在這個定義中，允許球面是一個平面（無限半徑，球心在無窮遠處），而如果兩個原始球面都是平面，那麼束的所有球面都是平面，否則在球面束中只會有一個平面（基本平面）。[ 2]
如果球面束不是由所有平面組成，那麼有三種類型的束：[ 13]
若球面相交於一個實圓 C C C
若球面相交於一個虛圓，球面束的所有球面也會通過這個虛圓，但是其實這些普通球面不相交（沒有真正的公共點）。中心線垂直於這個基本平面，這是一個真實的平面，但其中包含了一個假想的圓。
如果球面相交於一點 A A A 所有從基本平面的固定點到球面束的一個球面的切線的長度都是相同的。 [ 13]
基本平面是與球面束中所有球面正交的所有球面的中心的軌跡。而且，與球體束的任何兩個球體正交的球體，與球面束的所有球面正交，並且其中心位於球面束的基本平面中。 [ 13]
穿過球心的一條直線與球面相交，這兩個相對稱的交點稱為對徑點。大圓 是球面上的一個圓，與球面具有相同的中心和半徑，大圓所在的平面能將球面分成兩個相同的部分。球面的截面稱為圓面截口 （spheric sections）。圓面截口均為圓，除了大圓以外的其他圓稱為小圓 。 [ 15]
球面上兩個不同非對徑點之間的最短距離是過這兩個點的唯一大圓上的兩個圓弧中劣弧的長度。有了這個「大圓距離」，大圓就成為了黎曼圓。
若將球面上任意一點設為該球面的北極 ，與該點相對應的對徑點則被稱為南極 ，而赤道 則是與這兩個極點等距的大圓。 過這兩個極點的大圓被稱為子午線 或經線 ，過這兩個極點的直線被稱為旋轉軸。而緯度 則是球面上與赤道平行的圓。這個術語也同樣適用於那些與地球 表面一樣近似於球面 的天體 （見大地水準面 ）。
球體的對徑商空間是實射影平面 ，它也可以被看作是北半球，赤道的對映點被確定。
有猜想認為半球是黎曼圓的最佳（最小面積）等長填充。
球面可以推廣到任意維數的空間 。對於任意自然數 n n S n n + 1r r
S 0 [−r , r ] S 1 r 的圓 S 2 S 3 3-球面 是四維歐氏空間中的球面。n > 2
以原點為中心的單位半徑n S n n
單位(n -1
2
π
n
2
Γ
(
n
2
)
{\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}
其中Γ(z ) 發現的伽馬函數 。
表面積的另一種表達式為
{
(
2
π
)
n
/
2
r
n
−
1
2
⋅
4
⋯
(
n
−
2
)
,
if
n
is even
;
2
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
r
n
−
1
1
⋅
3
⋯
(
n
−
2
)
,
if
n
is odd
.
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}
體積等於表面積乘以r / n
{
(
2
π
)
n
/
2
r
n
2
⋅
4
⋯
n
,
if
n
is even
;
2
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
r
n
1
⋅
3
⋯
n
,
if
n
is odd
.
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}
對於n
更一般地，在度量空間 (E ,d ) x r > 0d (x ,y ) = r y
如果球心是位於E 賦范 空間中那樣）的話，定義和符號中沒有提及它。如果等於1，則半徑也是如此，例如單位球體 的情況。
與球體 不同的是，即使是一個大球面也可能是一個空集。例如，在歐幾里德度量 Z n r 2 整數 的n r
在拓撲學 中，n (n + 1) n 度量 。
0-球面是一對具有離散拓撲的點。
1-球面是一個圓（同胚 意義下）。因此，例如（任何扭結的像）是1-球面。
2-球面就是普通的球面（同胚 意義下）。因此，例如，任何類球面 都是2-球面。 n Sn 邊界 的緊緻 拓撲流形的 一個例子。球面不必是光滑的；如果它是光滑的，它就不需要與歐幾里得球面微分同胚 。
海涅－博雷爾定理 表明歐幾里德n ||x Sn
值得注意的是，在三維空間 中是可以把普通的球面內外翻轉過來的，這個過程稱作球面外翻，過程中可能會發生自交，但不會產生任何摺痕。
球面上的大圓 歐幾里得平面幾何的基本要素是點 和線。在球面上，點以通常的意義來定義。「線」的類似物是測地線 ，測地線是一個大圈 ；大圓的界定性特徵是含有其所有點的平面也穿過球心。弧長 測量表明，球面上兩點之間的最短路徑是過這兩點的大圓 的較短的那一段圓弧。
經典幾何的許多定理也適用於球面幾何，但並非所有的定理都是這樣，因為球面不能滿足一些經典幾何的假設，包括平行假設 。在球面三角學 中，角 是在大圓之間定義的。球面三角學在許多方面與普通的三角學 不同。例如，球形三角形的內角之和總是超過180度。而且，任何兩個相似的球面三角形都是全等的。
球面的一個法向量，一個法平面及其正截面。交叉曲線的曲率是截面曲率。對於球面，通過給定點的每個法線段將是一個半徑相同的圓（半徑為球的半徑）。這意味著球面上的每個點都是臍點。 在David Hilbert 和Stephan Cohn-Vossen的著作《幾何與想像》 [ 16]
球面上任意點與球心的距離都是相同的。同時，它和某兩個固定點之間的距離之比是恆定的。
第一句一般是球面的定義，可以唯一確定球面。而第二句的結論與阿波羅尼斯圓 類似，很容易被推導出，第二句的結論也適用於平面。 球面的外輪廓和用平面截出的截面都是圓。
該性質是球面獨有的性質。 球面的徑長和周長保持不變。
曲面的徑長是指兩個與該曲面相切的互相平行的平面的距離。除了球面之外，還有很多的閉合凸面的徑長也是恆定不變的，例如邁斯納結構 。而曲面的周長 是在平面上的正交投影的邊界長度。從這兩者中任意性質出發都可以推出另一個性質。 球面的所有點都是臍點 。
因為球面上的法線是由球心向外輻射的，所以在球面上任意一點的 法線與其外表面的夾角都成直角。過法線的平面與曲面的交線形成的曲線稱為法曲線 ，法曲線的曲率為也被稱為法曲率 。對於大多數曲面上大部分的點，不同的法曲線的法曲率也不同；而這些法曲率的最大值和最小值被稱為主曲率 。任何閉合的曲面上至少有四個臍點 。臍點上所有的法曲率是相等的;包括其主曲率 也是相等的。臍點可以被認為是曲面上最像球面的點。
球面上所有法曲線的曲率都是相等的，所以每個點都是臍點。曲面中，只有球面和平面具有此性質。 球體是沒有中心表面的。
對於一個給定的法曲線，存在一個曲率等於截面曲率的曲率圓與曲面相切，圓心位於其法線上。例如，對應其最大和最小截面曲率的兩個圓心被稱為焦點 ，所有這些圓心的集合形成的面叫做焦面 。
對於大多數曲面來說，焦面會形成兩個曲面在臍點處相交。一下幾種特殊的情況：
對於管道曲面，一層焦面形成曲線，另一層焦面形成為曲面
對於圓錐體 ，圓柱體， 環面 和環形曲線兩層焦面都形成曲面。
在球面上，每一個大圓的圓心都在球體的球心，而焦面形成一個點該性質是球面獨有的。 球面上的所有測地線都是閉合曲線。
測地線是球面表面上的曲線，也是兩點之間的最短距離。它們是平面幾何中直線概念的一種概括性表達。對於球面來說，測地線是一個大的圓。許多其他的曲面都有這種性質。 在體積大小一定的情況下，球面的表面積最小；而在表面積的大小固定的情況下，球面則能包圍最大的體積。
這個性質源自自等周不等式 。這些性質唯一地定義了球面，例如在肥皂泡 中：肥皂泡包圍的體積不變， 其表面張力 使得其表面積最小。一個自由浮動的肥皂泡因此近似於一個球體(儘管由於重力這樣的外力會輕微使得肥皂泡的形狀變得扭曲)。 在所有已經給定表面積的凸固體中，球面的總平均曲率是最小的。
平均曲率 是兩個主曲率的平均值，這是恆定的一個數值，因為球面上的所有點的主曲率都是相等的。球面的平均曲率是恆定的。
球面是唯一沒有邊界和奇異點而有恆定正平均曲率的嵌入面。其他如最小曲面這樣的沉浸面的平均曲率也是恆定的。 球面的高斯曲率是一個常數。
高斯曲率 是兩個主曲率的乘積。它是一種可以通過測量長度和角度來確定的固有性質，與曲面如何嵌入這個空間無關。因此，折彎曲面並不會改變高斯曲率，而其他高斯曲率不變的曲面則可以通過在球面上切割一個小狹縫並折彎來得到。所有其他的曲面都有邊界，球面是唯一沒有邊界的曲面，因為它的高斯曲率是一個常數。偽球面 是一個高斯曲率為負且不變的曲面的例子。球面是由一個由三參數所組成的剛性運動所構成的。
圍繞任何軸旋轉，在原點處的單位球會將球面陰影映射到其自身上。任何繞著過原點的直線的旋轉都可以表示為在三坐標軸上旋轉的組合 （詳見歐拉角 ）。因此，存在一個三參數的旋轉族，使得每次旋轉將球面轉換成自身；這個族被稱為旋轉組SO(3)。該平面是唯一具有三參數變換族的一個曲面（沿原點周圍的x y 旋轉表面 和螺旋面是具有單參數系列的表面。
演示工程儀器的撲克牌，英格蘭，1702。黑桃K：球體
Albert, Abraham Adrian, Solid Analytic Geometry, Dover, 2016 [1949], ISBN 978-0-486-81026-3 Dunham, William. The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. : 28, 226. ISBN 0-471-17661-3 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics 3rd, New York: Wiley , 1972, ISBN 0-471-50728-8 Steinhaus, H., Mathematical Snapshots Third American, Oxford University Press, 1969 Woods, Frederick S., Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover, 1961 [1922] 
![{\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c081de9760153a5ab7e59be1b9de1aa97d08dec)
![{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin {\varphi }\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }[-r^{2}\cos {\varphi }]_{0}^{\pi }\,\mathrm {d} \theta =4\pi r^{2}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a27c8ea81d50d501df7fb3bb0bff593f198ad3)
