級數

級數（英語：Series）代表某序列之和，例如序列${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},\,\ldots }$的級數${\displaystyle S_{n}}$可以表示成${\displaystyle S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}}$，如果被取和的序列是有窮序列，相對應的級數被稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數。常見的級數包括等差數列和等比數列的級數。

此條目介紹的是一個序列的總和。關於用序列表述的一串數字，請見「數列」。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
審斂法 項測試 · 比較審斂法 · 極限比較審斂法 ·根值審斂法 · 比值審斂法 · 柯西判別法 · 柯西並項判別法 · 拉比判別法 · 高斯判別法 · 積分判別法 · 魏爾施特拉斯判別法 · 貝特朗判別法 · 狄利克雷判別法 · 阿貝爾判別法 · 庫默爾判別法 · 斯托爾茲—切薩羅定理 · 迪尼判別法 級數 調和級數 · 調和級數 · 冪級數 · 泰勒級數 · 傅立葉級數
閱 論 編

級數本身也是一種序列（代表加到第${\displaystyle n}$項）。就跟普通序列一樣，級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常數，也可以是關於其他變量的函數，不一定是一個數，但某序列要能定義相應級數，前提是必須要有加法（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。

如果某級數來自於對常數序列取和，則稱之為常數（項）級數，如果來自於函數序列，則稱之為函數（項）級數。

無窮級數不像有窮級數可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於無窮大來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數${\displaystyle S_{n}}$取極限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}}$。如果這個極限存在，會仿造數列極限，將這個無窮級數稱為收斂的（convergent）；反之稱為發散的（divergent）。（而且要能定義極限還需要距離來比較遠近）

正式定義

定義 — 
${\displaystyle (A,\,\circ )}$ 是個交換群，對於定義在 ${\displaystyle A}$ 上的序列 ${\displaystyle {\{a_{i}\in A\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，存在唯一的序列 ${\displaystyle {\{s_{n}\in A\}}_{n\in \mathbb {N} }}$滿足：

(1) ${\displaystyle s_{1}=a_{1}}$

(2) 對所有正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$， ${\displaystyle s_{n+1}=s_{n}\circ a_{n+1}}$

這個唯一存在的序列被稱為 ${\displaystyle {\{a_{i}\in A\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 的級數（series）。

也就是說，只要 ${\displaystyle A}$ 上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在 ${\displaystyle A}$ 的序列${\displaystyle {\{a_{i}\in A\}}_{i\in \mathbb {N} }}$都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列${\displaystyle {\{s_{n}\in A\}}_{n\in \mathbb {N} }}$。也就是說，一般會將 ${\displaystyle \circ }$ 視為加法「${\displaystyle +}$」 ，而將${\displaystyle s_{n}}$更加直觀的記為：

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}}$

然後把${\displaystyle s_{n}}$直觀地稱為部分和。

通常會做以下的符號定義：

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{j}:=s_{n}}$

而將　${\displaystyle {\{s_{n}\in A\}}_{n\in \mathbb {N} }}$　記為　${\displaystyle {\left\{\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right\}}_{n\in \mathbb {N} }}$甚至是更直觀的 ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{j}}$

有窮級數

以上定義的級數，在直觀上被理解成「無窮級數」（infinite series）；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 開始，只要正整數 ${\displaystyle i\geq m}$ 就有 ${\displaystyle a_{i}=0_{A}}$ （${\displaystyle (A,\,\circ )}$的單位元素，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」（finite series），事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 ${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}a_{j}}$。

無窮級數的斂散性

對於級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$，如果當${\displaystyle n}$趨於正無窮大時，${\displaystyle s_{n}}$趨向一個有限的極限：${\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，${\displaystyle s}$叫做級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和${\displaystyle s}$。這時可以定義級數${\displaystyle \sum u_{n}}$的餘項和：${\displaystyle R_{n}=S-S_{n}}$。

任意項級數

如果級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$中的各項可以是正數，負數或零，則級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$稱為任意項級數。 將任意項級數各項${\displaystyle u_{n}}$取絕對值，得到正項級數。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|+\cdots }$

條件收斂

如果任意項級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收斂，而級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$發散，則稱級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$條件收斂。

絕對收斂

如果級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$收斂，則稱級數絕對收斂

定理：如果任意項級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$的各項的絕對值所組成的正項級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$收斂，則級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收斂。

證明：

令 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|+u_{n}),b_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|-u_{n})}$ 於是，有 ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq |u_{n}|,0\leq b_{n}\leq |u_{n}|}$ 因為${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$,${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$均為正項級數，且${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$收斂，由比較審斂法知，級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$收斂。 又因為${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n})}$,所以由級數的定義可得，級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收斂。 該定理表明，如果級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$絕對收斂，則級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$必收斂。

收斂級數的性質

• 若一個無窮級數${\displaystyle \sum u_{n}\ :\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots }$收斂，其和為${\displaystyle s}$，則如果每一項乘以一個常數${\displaystyle a}$，得到的級數${\displaystyle \sum au_{n}:\ au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots +au_{n}+\cdots }$也收斂，且和等於as。

• 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=s}$和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=t}$，則

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})=s\pm t}$.

• 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如：

${\displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots }$和 ${\displaystyle s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots +u_{n}+\cdots }$

這兩個級數的斂散性是一樣的。

• 當${\displaystyle n}$趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於0：${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=0}$

• 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}}$收斂的充要條件是，對任意${\displaystyle \epsilon >0}$ ，總存在${\displaystyle N_{0}>0}$，使得任意的${\displaystyle n>m>N_{0}}$，${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|=|\sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{n}|<\epsilon }$。

無窮級數的研究歷史

將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。

17世紀，詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年，布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。

對審斂法的研究

14世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。

然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數

${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$

的論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。

柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。

1826年，阿貝爾在他的關於二項式級數

${\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$

的論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。

柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝（Joseph Ludwig Raabe）的對數判別法，德·摩根的對數判別法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效） ，以及貝特朗、斯托克斯、柴比雪夫等人的審斂法也是如此。

對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

對均勻連續性的研究

1821年，柯西首先開始對均勻連續性的研究，但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，均勻連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。

類別

更多級數請參見級數列表。

幾何級數

主條目：幾何級數

幾何級數（或等比級數）是指通項為等比數列的級數，比如：

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2}$

一般來說，幾何級數${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$收斂若且唯若${\displaystyle \left\vert z\right\vert <1}$。

調和級數

主條目：調和級數

調和級數是指通項為${\displaystyle {1 \over n}}$的級數：

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}}$

它是發散的。

p {\displaystyle p} -級數

${\displaystyle p}$-級數是指通項為${\displaystyle {\frac {1}{n^{p}}}}$的級數：

${\displaystyle U_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

對於實數值的${\displaystyle p}$，當${\displaystyle p>1}$時收斂，當${\displaystyle p\leq 1}$時發散。這可以由積分比較審斂法得出。

函數${\displaystyle \zeta :p\mapsto U_{p}}$是黎曼ζ函數在實數軸大於1的部分的限制，關於黎曼${\displaystyle \zeta }$函數有著名的黎曼猜想。 特別地，當${\displaystyle p=1}$時，${\displaystyle p}$-級數即為調和級數。

裂項級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

收斂若且唯若數列${\displaystyle b_{n}}$收斂到某個極限${\displaystyle L}$，並且這時級數的和是${\displaystyle b_{1}-L}$。

泰勒級數

主條目：泰勒級數

泰勒級數是關於一個光滑函數${\displaystyle f}$在一點${\displaystyle a}$附近取值的級數。泰勒函數由函數在點${\displaystyle a}$的各階導數值構成，具體形式為：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

這是一個冪級數。如果它在${\displaystyle a}$附近收斂，那麼就稱函數${\displaystyle f}$在點${\displaystyle a}$上是解析的。

交錯級數

具有以下形式的級數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

其中所有的${\displaystyle a_{n}}$非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

冪級數

主條目：冪級數

形同${\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}$的函數項無窮級數稱為${\displaystyle x-x_{0}}$的冪級數。它的收斂與否和係數${\displaystyle a_{n}}$有關。

傅立葉級數

主條目：傅立葉級數

任何週期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函數項無窮級數，也就是說每項都是一個函數。傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

例如，週期為${\displaystyle 2\pi }$的週期函數${\displaystyle f(x)}$可以表示為：

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots }$

其中，${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}$，${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx}$，特別的，${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx}$

常數項無窮級數審斂法

主條目：審斂法

正項級數

若通項為實數的無窮級數${\displaystyle \sum u_{n}}$每一項${\displaystyle u_{n}}$都大於等於零，則稱${\displaystyle \sum u_{n}}$是一正項級數。

如果無窮級數 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 是正項級數，則部分和${\displaystyle S_{n}}$是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列S_n有界，${\displaystyle \sum u_{n}}$收斂，且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=s}$ ;反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。

比較判別法

設${\displaystyle \sum u_{n}}$ 和 ${\displaystyle \sum v_{n}}$是正項級數。

如果存在正實數${\displaystyle M}$，使得從若干項開始，${\displaystyle u_{n}\leq Mv_{n}}$（也就是說${\displaystyle u_{n}=O_{\infty }(v_{n})}$），則

• 當${\displaystyle \sum v_{n}}$ 收斂時，可推出 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 也收斂。
• 當${\displaystyle \sum u_{n}}$ 發散時，可推出 ${\displaystyle \sum v_{n}}$ 也發散。

如果${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=0}$，則

• 當${\displaystyle \sum v_{n}}$ 收斂時，可推出 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 也收斂。
• 當${\displaystyle \sum u_{n}}$ 發散時，可推出 ${\displaystyle \sum v_{n}}$ 也發散。

如果${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=1}$或其它有限數，則${\displaystyle \sum v_{n}}$ 和${\displaystyle \sum u_{n}}$ 同時收斂或發散。

比如，我們已知級數：${\displaystyle \sum {1 \over n^{2}}}$收斂，則級數：${\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}}$也收斂，因為對任意的${\displaystyle n}$，${\displaystyle \sin n\leq 1}$。

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數：${\displaystyle U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}}$作為「標準級數」，依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當${\displaystyle p\leq 1}$時，${\displaystyle U_{p}}$發散，當${\displaystyle p>1}$時，${\displaystyle U_{p}}$收斂。

達朗貝爾判別法

主條目：達朗貝爾審斂法

在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得：

設${\displaystyle \sum u_{n}}$是通項大於零的正項級數。並且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=p}$，則

• 當${\displaystyle p<1}$ 時，級數${\displaystyle \sum u_{n}}$收斂。
• 當${\displaystyle p>1}$ 時，級數${\displaystyle \sum u_{n}}$發散。
• 當${\displaystyle p=1}$ 時，級數${\displaystyle \sum u_{n}}$可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

柯西收斂準則

主條目：根值審斂法

設 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 是正項級數。並且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p}$，則

• 當${\displaystyle p<1}$時，級數 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 收斂。
• 當${\displaystyle p>1}$時，級數 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 發散。
• 當${\displaystyle p=1}$時，級數 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。

交錯級數

主條目：交錯級數判別法

具有以下形式的級數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

其中所有的${\displaystyle a_{n}}$非負，被稱作交錯級數。

萊布尼茨判別法

主條目：萊布尼茨審斂法

在上述的級數${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$中，如果當${\displaystyle n}$趨於無窮時, 數列${\displaystyle a_{n}}$的極限存在且等於 0，並且每個${\displaystyle a_{n}}$小於${\displaystyle a_{n-1}}$（即, 數列${\displaystyle a_{n}}$是單調遞減的），那麼級數收斂。

任意項級數

對於通項為任意實數的無窮級數${\displaystyle \sum u_{n}}$，將級數${\displaystyle \sum |u_{n}|}$稱為它的絕對值級數。可以證明，如果${\displaystyle \sum |u_{n}|}$收斂，那麼 ${\displaystyle \sum u_{n}}$也收斂，這時稱 ${\displaystyle \sum u_{n}}$絕對收斂。如果${\displaystyle \sum u_{n}}$收斂，但是${\displaystyle \sum |u_{n}|}$發散，則稱${\displaystyle \sum u_{n}}$條件收斂。比如說，級數${\displaystyle \sum {\sin n \over n^{2}}}$絕對收斂，因為前面已經證明 ${\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}}$收斂。而級數${\displaystyle \sum {(-1)^{n} \over n}}$是條件收斂的。它自身收斂到${\displaystyle \ln {1 \over 2}}$，但是它的絕對值級數${\displaystyle \sum {1 \over n}}$是發散的。

黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數${\displaystyle \sum u_{n}}$條件收斂，那麼對於任意的實數${\displaystyle x}$，存在一個正整數到正整數的對射${\displaystyle \sigma }$，使得級數${\displaystyle \sum u_{\sigma (n)}}$收斂到 ${\displaystyle x}$。對於正負無窮大，上述對射也存在。

函數項級數

設${\displaystyle (u_{n}(x))_{n\geq 0}}$為定義在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$上的函數列，則表達式：${\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)+\cdots }$稱為函數項級數，簡記為${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$。對函數項級數的主要研究是：

1. 確定對哪些${\displaystyle x}$，${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$收斂。
2. ${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？

收斂域

對區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$上的每個 ${\displaystyle x_{0}}$，級數 ${\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})}$是常數項級數。若 ${\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})}$收斂，則稱${\displaystyle x_{0}}$是${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$的一個收斂點，${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 ${\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})}$發散，則稱${\displaystyle x_{0}}$是${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$的一個發散點，${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$全體發散點的集合稱為它的發散域。${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函數，稱為${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$的和函數，記為${\displaystyle S(x)}$。按照定義，${\displaystyle S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})}$，其中${\displaystyle S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})}$為函數項級數在${\displaystyle x_{0}}$點上的部分和。

均勻收斂

主條目：均勻收斂

函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義，但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函數項級數${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$中的每一項${\displaystyle u_{n}(x)}$在收斂域上都是連續函數時，和函數未必會是連續函數。以下是一個例子：

設${\displaystyle \displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}}$，也就是說${\displaystyle \displaystyle u_{0}(x)=1-x}$，${\displaystyle \displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}}$等等，它們顯然都是連續函數（甚至是光滑函數）。這時函數項級數在${\displaystyle x}$ 點上的部分和${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}}$。在區間${\displaystyle [0,1]}$的每一點上，部分和都有極限：

當${\displaystyle x\neq 1}$時，${\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 1}$

當${\displaystyle \displaystyle x=1}$時，${\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 0}$

於是在區間${\displaystyle [0,1]}$上，級數${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$ 收斂，其和函數${\displaystyle S(x)}$為：

當${\displaystyle 0\leq x<1}$時，${\displaystyle S(x)=1}$；${\displaystyle S(1)=0}$。

這不是一個連續函數。

然而，如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性，這就是所謂的均勻收斂性質。和函數列的均勻收斂性質一樣，函數項級數${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$在某個區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內（關於某個範數${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$）均勻收斂的定義是它的部分和函數${\displaystyle S_{n}}$ 在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$上均勻收斂到和函數${\displaystyle S}$，

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I}}=0}$

或者寫成${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I}}=0}$

可以證明：

如果級數${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$ 在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 內均勻收斂，並且每個${\displaystyle u_{n}(x)}$ 都是連續函數，那麼和函數${\displaystyle S}$ 在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 上也是連續函數。

進一步的，如果導函數級數的每一項都是${\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}}$函數（${\displaystyle p}$階連續可微函數），並且各階導函數級數${\displaystyle \sum u_{n}(x),\sum u_{n}^{(1)}(x),\sum u_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u_{n}^{(p)}(x)}$在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內都均勻收斂，那麼級數和函數${\displaystyle S(x)=\sum u_{n}(x)}$ 也是${\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}}$函數，並且：

${\displaystyle \forall 0\leq i\leq p}$ ，${\displaystyle S^{(i)}(x)=\sum u_{n}^{(i)}(x)}$。

絕對收斂

函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$和範數${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {I}}}$，函數項級數${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內絕對收斂，若且唯若常數級數${\displaystyle \sum \left\|u_{n}\right\|_{\mathcal {I}}}$收斂。

絕對收斂的（連續？）函數在每一點都收斂，並且在區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內均勻收斂。^{[來源請求]}

冪級數

主條目：冪級數

形同${\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}$的函數項無窮級數稱為${\displaystyle x-x_{0}}$的冪級數。一般只需討論形同${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}$的冪級數。

冪函數的收斂域

根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為${\displaystyle (-R,R)}$（可開可閉）的形式。這個正數${\displaystyle R}$（可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。並有定理：

設冪級數${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}$滿足${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho }$，則：

• ${\displaystyle \rho }$是正實數時，${\displaystyle R={1 \over \rho }}$。
• ${\displaystyle \rho =0}$時，${\displaystyle R=\infty }$。
• ${\displaystyle \rho =\infty }$時，${\displaystyle R=0}$。

冪級數的和函數

求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。

漸進級數

漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

發散級數的和

主條目：發散級數

發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及歐拉求和。

推廣

級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。

參見

• 收斂
• 發散級數
• 函數級數（英語：function series）
• 級數展開
• 求和轉換
• 阿貝爾定理
• 黎曼級數定理
• 柯西-阿達馬公式

注釋

參考文獻

參考書目

• 同濟大學數學系. 高等数学 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中國大陸））.
• 北京大學數學科學學院. 数学分析 2. 北京大學出版社 （中文（中國大陸））.