序列

序列（英語：Sequences）在數學中是指被排成一列的數學實體（如數字、函數），其中常見的就是排成一列的數，即數列。

提示：此條目的主題不是級數。

一個實數的無限序列（藍色）。這個序列既不是遞增的也不是遞減的更不是收斂的，但它是有界的。

正式定義

序列的定義

${\displaystyle S}$ 是一個集合，那

• 函數 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to S}$ 被稱為「定義在 ${\displaystyle S}$ 上的 無窮序列」。而函數值 ${\displaystyle f(i)}$ 可簡記為 ${\displaystyle f_{i}}$，甚至函數 ${\displaystyle f}$ 本身也可記為 ${\displaystyle {\{f_{i}\}}_{i\in \mathbb {N} }}$。

• 給定一個正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，那函數 ${\displaystyle g:\{1,\,2,...,\,n\}\to S}$ 被稱為「定義在 ${\displaystyle S}$ 上的 有限序列」。通常將 ${\displaystyle g(j)}$ 簡記為 ${\displaystyle g_{j}}$，且 ${\displaystyle g}$ 本身也記為 ${\displaystyle {\{g_{j}\}}_{j=1}^{n}}$。

• 函數${\displaystyle h:\mathbb {Z} \to S}$ 被稱為「定義在 ${\displaystyle S}$ 上的 雙無限序列」。

直觀上就是用數碼去標記一列數學實體（如數字、函數）。

例子和符號

例如，(C,Y,R)是一個字母的序列：順序是C第一，Y第二，R第三。序列可以是有限的（就像前面這個例子），也可以是無限的，就像所有正偶數的序列（2,4,6,...）。有限序列包含空序列（），它沒有元素。序列中的元素也稱為項，項的個數（可能是無限的）稱為序列的長度。

序列的形式和性質

• 一個給定序列的子序列是從給定序列中去除一些元素，而不改變其他元素之間相對位置而得到的。

• 若序列的項屬於一個偏序集，則單調遞增序列就是其中每個項都大於等於之前的項；若每個項都嚴格大於之前的項，這個序列就是嚴格單調遞增的。類似可定義單調遞減序列。單調序列是單調函數的一個特例。

• 由整數組成的序列稱為整數列；由多項式組成的序列稱為多項式列。

• 若S具有拓撲，那麼就可以討論S中的無限序列的收斂。請詳見極限。

• 由數組成的序列稱為數列；由數列的部分和組成的序列稱為級數，例如：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}=1-{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}.}$

應用

計算機領域

有限的序列稱為列表（lists）。有限的字符串序列稱為字符串（string）。無限的序列稱為字符串流（stream）。

參考文獻

• Последовательность. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （俄語）. （俄文）

參見

• 柯西序列
• 網 (數學)（序列的推廣）
• 序列空間
• 數列
• 整數數列線上大全

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Sequence, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Journal of Integer Sequences （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (free)
• Sequence. PlanetMath.
• 整數數列在線大全