狄利克雷判別法

狄利克雷判別法（Dirichlet test）是一個級數審斂法，以數學家約翰·彼得·狄利克雷命名。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

給定兩個實數級數${\displaystyle \{a_{n}\}}$和${\displaystyle \{b_{n}\}}$，如果級數滿足

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}>0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$
• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$對於所有正整數${\displaystyle N}$

其中M是某個常數，那麼級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$收斂。

狄利克雷判別法的一個推論，是更加常用的交錯級數判別法：

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}$。

另外一個推論是當${\displaystyle \{a_{n}\}}$是一個趨於零的遞減數列時，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ 收斂。

參考文獻

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379-380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X.

外部連結

• PlanetMath.org （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）