項測試

第n項測試（the n-th term test for divergence）是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式^[1]。

• 若 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ 或極限不存在，則 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 發散。

許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名^[2]

用途

項測試和其他較強的收斂測試不同，此測試方式只能確認級數是否發散，不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件，無法判定級數是收斂或是發散。例如：

• 若 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$ 則 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 可能收斂也可能發散，此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

調和級數就是不符合此測試的發散條件，卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

配合項測試及其他測試，可得到以下的結果：

• 若p ≤ 0，根據項測試可知此級數發散。
• 若0 < p ≤ 1，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數發散。
• 若1 < p，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數收斂。

證明

要證明此測試法，一般都會證明其逆否命題（contrapositive）形式；

• 若${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收斂，則${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

利用極限證明

若 s_n 是級數的部份和，則上述對數列的假設可推得

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s}$

因此可得^[3]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0.}$

柯西判別法

級數收斂的假設表示級數可以滿足柯西判別法的測試：對任意${\displaystyle \varepsilon >0}$均存在一數字N使得

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

在所有n > N及p ≥ 1的條件下均成立。令p = 1，即可得到^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

應用範圍

項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦範向量空間中^[5]。

腳註

1. Kaczor p.336
2. 如Rudin (p.60)只提到其相反位置（contrapositive）的形式，沒有命名。Brabenec (p.156)稱此測試為nth term test。Stewart (p.709)稱此測試為Test for Divergence。
3. Brabenec p.156; Stewart p.709
4. Rudin (pp.59-60)也使用此證明的概念，但用另一種陳述柯西判別法的方式
5. Hansen p.55; Șuhubi p.375

參考資料

• Brabenec, Robert. Resources for the study of real analysis. MAA. 2005. ISBN 0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard. Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. 2006. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508.
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James. Calculus: Early transcendentals 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. Functional Analysis. Springer. 2003. ISBN 1402016166.