泰勒級數

在數學中，泰勒級數（英語：Taylor series，Taylor expansion）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）來命名的。通過函數在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做馬克勞林級數（英語：Maclaurin series），以蘇格蘭數學家科林·馬克勞林（Colin Maclaurin）的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限（如果存在極限）。即使泰勒級數在每點都收斂，函數與其泰勒級數也可能不相等。在開區間（或複平面上的開區間）上，與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數。

定義

在數學上，對於一個在實數或複數${\displaystyle a}$鄰域上，以實數作為變量或以複數作為變量的函數，並且是無窮可微的函數${\displaystyle f(x)}$，它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

這裡，${\displaystyle n!}$表示${\displaystyle n}$的階乘，而${\displaystyle f^{(n)}(a)\,\!}$表示函數${\displaystyle f}$在點${\displaystyle a}$處的${\displaystyle n}$階導數。如果${\displaystyle a=0}$，也可以把這個級數稱為馬克勞林級數。

解析函數

柯西在1823年指出函數${\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$在${\displaystyle x=0}$無法被解析。

如果泰勒級數對於區間${\displaystyle (a-r,a+r)}$中的所有${\displaystyle x}$都收斂並且級數的和等於${\displaystyle f(x)}$，那麼我們就稱函數${\displaystyle f(x)}$為解析形的函數（analytic）。一個函數若且唯若（簡單地說，「只有在且只要在」）能夠被表示為冪級數的形式時，才是解析形的函數。通常會用泰勒定理來估計級數的餘項，這樣就能夠確定級數是否收斂於${\displaystyle f(x)}$。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。

以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的：

1. 可以逐項對冪級數的計算微分和積分，因此求和函數相對比較容易。
2. 數學家因此能夠在複數平面上研究函數，因為一個解析函數，也可以被定義為在複平面中一個開放的區間內的解析函數(在區間內每一個點上都能被微分的函數)。
3. 可用泰勒級數估計，在某一點上函數會計算出什麼值。

對於一些無窮的可以被微分函數${\displaystyle f(x)}$，雖然它們的展開式會收斂，但是並不等於${\displaystyle f(x)}$。例如，分段函數${\displaystyle f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$，如果${\displaystyle x\neq 0}$並且${\displaystyle f(0)=0}$，則${\displaystyle x=0}$時所有的導數都為零，所以這個${\displaystyle f(x)}$的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，不過函數${\displaystyle f(x)}$僅在${\displaystyle x=0}$處為零。但是，在以複數作為變量的函數中這個問題並不存在，因為當${\displaystyle z}$沿虛數軸趨於零，${\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$並不趨於零。

如果一個函數在某處引發一個奇異點，它就無法被展開為泰勒級數，不過如果變量${\displaystyle x}$是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，雖然在${\displaystyle x=0}$的時候，${\displaystyle f(x)=\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$會引發奇異點，但仍然能夠把這個函數展開為一個洛朗級數。

最近，專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程式的方法——Parker-Sochacki method（英語：Parker-Sochacki method）^[1]。用皮卡反覆運算便可以推導出這個方法。

常用的函數:馬克勞林級數

在複平面上餘弦函數的實數部分。

在複平面上餘弦函數的第八度逼近

兩個以上的曲線放在一起

下面我們給出了幾個重要的馬克勞林級數。當變量${\displaystyle x}$是複數時，這些等式依然成立。

幾何級數

主條目：幾何級數

由無窮遞縮等比數列求和式:${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1}$

二項式級數

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots }$

${\displaystyle \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} }$

二項式係數${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$。

指數函數和自然對數

以${\displaystyle e}$為底數的指數函數的馬克勞林級數是

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x}$ （對所有X都成立）

以${\displaystyle e}$為底數的自然對數的馬克勞林級數是

${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)}$ （對於在區間[-1,1)內所有的X都成立）

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]}$ （對於在區間(-1,1]內所有的X都成立）

三角函數

常用的三角函數可以被展開為以下的馬克勞林級數：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n-1)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$

在${\displaystyle \tan(x)}$展開式中的B_k是伯努利數。在${\displaystyle \sec(x)}$展開式中的E_k是尤拉數。

雙曲函數

主條目：雙曲函數

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \tanh(x)}$展開式中的B_k是伯努利數。

朗伯W函數

主條目：朗伯W函數

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}}$

多元函數的展開

泰勒級數可以推廣到有多個變量的函數： ${\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}$

歷史

希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來，亞里斯多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分，得到了有限的結果。^[2]幾個世紀之後，中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。^[3]

進入14世紀，馬德哈瓦（英語：Madhava of Sangamagrama）最早使用了泰勒級數以及相關的方法^[4]。儘管他的數學著作沒有流傳下來，但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數，這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函數等等。之後，喀拉拉學派（英語：Kerala school of astronomy and mathematics）在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近，這些工作一直持續到16世紀。

到了17世紀，詹姆斯·格雷果里同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干馬克勞林級數。但是直到1715年，布魯克·泰勒 ^[5] 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函數的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。 馬克勞林級數是泰勒級數的特例，是愛丁堡大學的科林·馬克勞林教授在18世紀發表的，並以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源

《自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由「牛頓前向差分方程式」的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五^[6]，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。

差分

主條目：差分

對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}}$

插值公式

參見：均差和牛頓多項式

牛頓前向差分插值公式為：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}}$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。

無窮級數

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了${\displaystyle \ln(1+x)}$的無窮級數，在1666年得出了${\displaystyle \arcsin(x)}$和${\displaystyle \arctan(x)}$的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了${\displaystyle \sin(x)}$、${\displaystyle \cos(x)}$、${\displaystyle \arcsin(x)}$和${\displaystyle e^{x}}$的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了${\displaystyle \sin(x)}$、${\displaystyle \cos(x)}$和${\displaystyle \arctan(x)}$的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》中研討了有限差分方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於${\displaystyle 0}$的極限，得出：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}}$

參考文獻

1. James S. Sochacki. The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations. James Madison University. [2008-05-02]. （原始內容存檔於2008-05-01） （英語）.
2. Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37
3. 吳文俊 《中國數學史大系》第三卷 367頁
4. Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala. MAT 314. Canisius College. [2006-07-09]. （原始內容存檔於2006-08-06）.
5. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
6. Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

參見

• 無窮級數
• 牛頓多項式
• 冪級數
• 光滑函數
• 帕德近似
• 泰勒公式