交錯級數判別法

交錯級數審斂法（Alternating series test）是證明無窮級數收斂的一種方法，最早由戈特弗里德·萊布尼茨發現，因此該方法通常也稱為萊布尼茨判別法或萊布尼茨準則。

具有以下形式的級數

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

其中所有的a_n 非負，被稱作交錯級數，如果當n趨於無窮時，數列a_n的極限存在且等於0，並且每個a_n小於或等於a_n-1（即，數列a_n是單調遞減的），那麼級數收斂．如果L是級數的和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!}$

那麼部分和

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

逼近L有截斷誤差

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$

證明

我們假設級數具有形式${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$．當${\displaystyle n}$趨於無窮時，數列${\displaystyle a_{n}}$的極限等於0，並且每個 ${\displaystyle a_{n}}$小於或等於${\displaystyle a_{n-1}}$（即${\displaystyle a_{n}}$是單調遞減數列）．^[1]

收斂性證明

給定數列前 ${\displaystyle (2n+1)}$ 項的部分和 ${\displaystyle S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}}$．由於每個括號內的和非正，並且 ${\displaystyle a_{2n+1}\geq 0}$ ，那麼前 ${\displaystyle (2n+1)}$ 項的部分和不大於 ${\displaystyle a_{0}}$.

並且每個部分和可寫做 ${\displaystyle S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)}$．每個括號內的和非負．因此，級數 ${\displaystyle S_{2n+1}}$ 單調遞增：對任何 ${\displaystyle n\in N}$ 均有：${\displaystyle S_{2n+1}\leq S_{2n+3}}$.

結合以上兩段論述，由單調收斂定理可得，存在數 ${\displaystyle s}$ 使得 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s}$.

由於 ${\displaystyle S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}}$ 並且 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ，那麼 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=s}$．給定數列的和為 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s}$ ，其中 ${\displaystyle s}$ 為有限數，從而數列收斂．

部分和截斷誤差的證明

在收斂性的證明過程中，我們發現${\displaystyle S_{2n+1}}$是單調遞增的．由於${\displaystyle S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)}$，並且括號中的每一項是非正的，這樣可知${\displaystyle S_{2n}}$是單調遞減的．由先前的論述，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=L}$，因此${\displaystyle S_{2n}\geq L}$．類似的，由於${\displaystyle S_{2n+1}}$是單調遞增且收斂到${\displaystyle L}$，我們有${\displaystyle S_{2n+1}\leq L}$．因此我們有${\displaystyle S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}}$對所有的n均成立．

因此如果k是奇數我們有${\displaystyle |L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}\leq a_{k}}$，而如果k是偶數我們有${\displaystyle |L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}}$．

參閱

• 狄利克雷判別法

圖書資料

• Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3

• Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3

參考文獻

1. Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.