超複數是複數在抽象代數中的引申,通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究,成為現代群表示論的根基。
此種代數舉例如下:
Kantor & Solodovnikov (1989)定義超複數為實域上某個有限維代數的元素,而該代數要有單位,但無需可結合或可交換。[12] 該些元素可以寫成一組基
的線性組合,其中系數為實數
,而基的大小
稱為該代數的維數。若可行,一般將基正規化,即選取
使
。下節先考慮二維超複數(即
)。
關於二維實代數有以下定理:[6]:14,15[13][14]在同構意義下,實域上的二維單位代數恰有3個:複數系、雙曲複數系、二元數系。於是,實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。
下段簡述定理的證明。
因為給定的代數是二維,可選一組基
。因為代數對乘法封閉,
的平方仍是代數的元素,故可寫成線性組合:
![{\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5953b27ffaf6c927e8300c757b74c720308b8e)
其中
為實系數。
運用常見的配方法,兩邊減走
並加上
,得:
![{\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb9a0b9fbb663b2a01dcb965abc7d7076770bdf)
所以
,其中
是實數。
取決於此實數值,分別有三種情況:
- 若
,則上式變成
。於是,
可視為二元數的基
中的冪零元
。
- 若
,則有
。雙曲複數的標準基
滿足
,故若除
以正實數
(其平方與
平方相等),得到的結果即可視為
。
- 若
,則有
。平常複數的標準基
滿足
,故若除
以正實數
(其平方與
平方互為相反數),得到的結果即可視為
。
從而定理成立。
複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根
(如雙曲複數),則也有冪等元
和零因子(因為
),故此種代數必不為除代數。然而,此種性質有時很有用,例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。
《數學雜誌》在2004年的某版中,稱二維實代數為「廣義複數」(generalized complex numbers)。[15]四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。[16]
克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上,其等價於可以定義對稱純量積
,正交化該二次型,以得到基
,滿足:
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b3863184babbaa4acba8621e8f68465f2e35c2)
由乘法封閉性,該向量空間的基相乘得到
個克里福數,即
,皆為克里福代數的元素,且組成該代數的基(不同於原向量空間的基),可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基
不同,該代數的其他基元素不一定反交換,而是取決於將兩個因子對調時,會交換的簡單因子(即
)有奇數對抑或偶數對。所以,
,但
。
若不允許
(即二次型非退化),則餘下的克里福代數可記為
,表示其為
個滿足
的簡單基元和
個滿足
的簡單基元生成的代數,而括號內的
指明此為實域上的克里福代數,即元素的系數為實數。
該些代數稱為幾何代數,組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋,因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。
此族代數包括:複數系
、雙曲複數系
,四元數系
、分裂複四元數系
、分裂四元數系
(二維空間生成的自然代數)、
(三維空間生成的自然代數,也是包立矩陣生成的代數)、時空代數
。
代數
可以視為代數
的偶子代數
,從而可用作描述
中的旋轉。因此,複數密切關係二維空間的旋轉,四元數密切關係三維空間的旋轉,雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉(洛侖茲變換),餘可類推。
雖然八維或以上時,凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合,任意維數的克里福代數皆可結合。
1995年,伊恩·波蒂厄斯有關克里福代數的書中,論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況:[17]
- 設
為實結合代數,且具有單位元
。則
生成
(實子代數),
- 若
是任何滿足
的元素,則其生成的二維子代數與
同構(複子代數),
- 若
是任何滿足
的元素,則其生成的二維子代數與
同構(此處
是實二元組的集合,其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構),
- 若
,且
反交換,則
生成的四維子代數同構於
(四元數代數),
- 若
,且
反交換,則
生成的四維子代數同構於
(元素為
實矩陣,或分裂四元數),
- 若
,且
兩兩反交換,則其生成的八維子代數同構於
(分裂複四元數代數),
- 若
,且
兩兩反交換,則其生成的八維子代數同構於
(元素為
複矩陣,亦可視為複四元數或包立代數)。
超出該些古典代數的延伸,見克里福代數的分類。
撇除實數系、複數系、四元數系不計,其他克里福代數
皆含有平方為
的非實數,故不能為除代數。凱萊-迪克森構造是另一個擴展複數系的方法,其給出維數為
的數系,該些數系的基
滿足:所有非實的基元兩兩反交換,且
。在8維或以上時(即
),該些代數不可結合,而在16維或以上時(即
),該些代數有零因子。
此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升,其代數結構的對稱性逐一失去:四元數乘法不可交換,八元數乘法不可結合,而十六元數的範數不具積性。
凱萊-迪克森構造的某些步驟中,若插入額外的符號,則得到複合代數中的「分裂代數」,而非除代數:
- 分裂複數系:有基
,滿足
,
- 分裂四元數系:有基
,滿足
,
- 分裂八元數系:有基
,滿足
,
。
與複數系不同,分裂複數系並非代數閉,甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似,分裂四元數系亦不可交換,但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合,也含有冪零元。
- 多重複數:其組成複域上的
維向量空間。
- 複合代數:賦有二次型的代數,其中二次型與乘法可互換次序。
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