交比

數學上，複平面上四點的交比是

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}}$。

這個定義可以連續延拓至整個黎曼球面，即複平面加上無窮遠點。

一般來說，交比可以定義在射影直線（黎曼球面就是複射影直線）。在任何仿射坐標卡中，交比由上式給出。交比是射影幾何的不變量，就是說射影變換保持交比不變。 從前人們注意到如果四條直線穿過一點P，第五條直線L不穿過P，分別與四條直線交於四點，那麼在L上按序取四點的有向長度，所算出的交比是獨立於L。它是這四直線系的不變量。

四個複數的交比為實數當且唯當四點共線或共圓。

對稱

各著作對交比有不同定義，不過各定義只相異於某些坐標的置換。一般來說，根據點${\displaystyle z_{i}}$所給出的各種次序，交比可以取六個不同的值。因為四個坐標有24種排列，有些置換保持交比不變。實際上，任意兩對坐標對換保持交比：

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=(z_{2},z_{1};z_{4},z_{3})=(z_{3},z_{4};z_{1},z_{2})=(z_{4},z_{3};z_{2},z_{1})\,}$。

運用這些對稱，交比就有6個可能值，由點的次序決定：

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=\lambda \,}$		${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})={1 \over \lambda }}$
${\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})={1 \over {1-\lambda }}}$		${\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})=1-\lambda \,}$
${\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})={\lambda \over {\lambda -1}}}$		${\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})={{\lambda -1} \over \lambda }}$

從群論來說，對稱群S₄以置換坐標來作用於交比上，這群作用的核為克萊因四元群（這是保持交比的群）。那麼有效對稱群是其商群，同構於S₃。

對某些λ值會有更強的對稱，交比的可能值就少於六個。這些λ值對應於S₃對黎曼球面的作用的不動點（由以上六個函數給出）；等價地，就是在置換群內有非平凡穩定子群的點。

第一個這樣的集合是{0, 1, ∞}。但若四點${\displaystyle z_{i}}$相異，交比不可能取這些值。這些值是當有一對坐標彼此趨近時的極限值：

${\displaystyle (z,z_{2};z,z_{4})=(z_{1},z;z_{3},z)=0\,}$

${\displaystyle (z,z;z_{3},z_{4})=(z_{1},z_{2};z,z)=1\,}$

${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z)=(z_{1},z;z,z_{4})=\infty \,}$

第二個這樣的集點是{−1, 1/2, 2}。這情況古典上稱為「諧和交比」。最對稱的交比是當${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$。這時交比只可能是這兩個值。

從變換出發

交比為黎曼球面的射影變換所保持，也稱為莫比烏斯變換：

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad ad-bc\neq 0}$。

所謂它們保持交比就是指

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})\,}$。

作用於黎曼球面上的麥比烏斯變換群有一性質：任意3點集要映射到另外的3點集，都存在唯一的麥比烏斯變換。（這個群作用有3重傳遞性。）所以給出黎曼球面上4點，有唯一變換把其中3點映射到點0，1，和∞。第四點映射到的點，與原來四點的交比有關。

要看到這點，注意到

${\displaystyle (z,1;0,\infty )=\lim _{w\to \infty }{\frac {z(1-w)}{z-w}}=z\,}$。

所以給出四點 ${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})}$可以找到唯一變換f作映射

${\displaystyle z_{2}\to 1,\;z_{3}\to 0,\;z_{4}\to \infty }$。

點${\displaystyle z_{1}}$就被映射到${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=f(z_{1})}$。換個角度看，若把交比看為${\displaystyle z_{1}}$的函數，交比是唯一的變換把點${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$映射到${\displaystyle (1,0,\infty )}$。

高等觀點

若四點走近，這理論便有了微分學的一面，從而引領至施瓦茨導數理論，還有更一般的射影聯絡理論。這些理論被應用在共形場論。