有單位的

在數學裡，一代數結構是有單位的（unital 或 unitary），當它含有一乘法單位元素，即含有一元素 1，對所有此代數結構內的元素 x ，有 1x=x1=x 的性質。

上述說法和一代數結構為乘法上的幺半群的說法是等價的。和所有的么半群一樣，其乘法單位元也是唯一的。

大部份在抽象代數內被考慮的結合代數，如群代數、多項式代數和矩陣代數等都是有單位的，當環被假設必須如此時。大部份在數學分析內被考慮之函數的代數都沒有單位，例如平方可積函數（於無界定義域內）的代數和於無限會降至零之函數的代數，尤其是在某些（非緊）集合上具有支集的函數。

給定兩個單作代數A和B，一代數同態

f : A → B

為有單位的當其映射 A 的單位元映為 B 的單位元。

若數域 K 上的結合代數 A 沒有單位，可如下加入一單位元：A×K為K-向量空間且如下定義乘法 * ，

(x,r) * (y,s) = (xy + sx + ry, rs)

其中 x 和 y 為 A 的元素及 r 和 s 為 K 的元素。然後，* 將為有單位元 (0,1) 的結合運算。舊代數 A 包含於新代數內，且 A×K 成爲是包含 A 的最一般的有單位代數，在泛性質的意思之下。

根據環理論術語，一般假定乘法單位元存在於任一環內。依此假定，所有的環都會有單位，且所有的環同態也會是有單位，且（結合）代數有單位若且唯若其為環。作者若不把環當做都有乘法單位元，會把有乘法單位元的環稱做有單位環（幺環），且把環單位元如單位元般作用在其上的模稱做有單位模（幺模）。

參考文獻