在数学中,三角恒等式是对出现的所有值都为实变量,涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分:一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则,则通过三角恒等式可简化结果的积分。
在几何上依据以O为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数
几个三角函数的图形,分别为正弦、余弦、正切、余切、正割、余割和正矢。配色与上图相同
单位圆的角度
为了避免由于
的不同意思所带来的混淆,我们经常用下列两个表格来表示三角函数的倒数和反函数。另外在表示余割函数时,'
'有时会写成比较长的'
'。
More information 函数, 反函数 ...
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不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。另外在计算机中角度的符号为D,弧度的符号为R,梯度的符号为G。
正矢、余矢、半正矢、半余矢、外正割用于航行。例如半正矢可以计算球体上的两个点之间的距离,但它们不常用。
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名称
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函数
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值[1]
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正矢, versine
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![{\displaystyle \operatorname {versin} \theta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127e743f69b0f3ab40c96e9d4cdaba5f196f0b95)
![{\displaystyle \operatorname {vers} \theta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8323d244b596454c1cb660e976b2c11907dff76a)
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余的正矢, vercosine
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余矢, coversine
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![{\displaystyle \operatorname {coversin} \theta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0b7aa4ccb4aabd27732c63ba5cab951dc88956)
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余的余矢, covercosine
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半正矢, haversine
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余的半正矢, havercosine
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半余矢, hacoversine cohaversine
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余的半余矢, hacovercosine cohavercosine
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外正割,exsecant
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外余割,excosecant
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弦函数, chord
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纯虚数指数函数, cosine and imaginary unit sine
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辐角,Argument
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当三角函数反射自某个特定的
值,结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式:
设
,对于
。设
是变量
,
,
的
次基本对称多项式。则
![{\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1265e10551473d7f8178ee0419f881b672331d)
项的数目依赖于
。例如,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a697078eec8f2430079e789c6ad432924e0e86d)
并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。
。
(这个
的函数是狄利克雷核。)
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,
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参见正切半角公式,它也叫做“万能公式”。
- 正矢
![{\displaystyle \operatorname {versin} 2\theta =2\sin ^{2}\theta ={\frac {(\sin 2\theta )(\sin \theta )}{\cos \theta }}=1-\cos 2\theta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aceb99e587c6ecb40d6b068d52b2ee7bb909b2f4)
- 余矢
![{\displaystyle \operatorname {cvs} 2\theta =(\sin \theta -\cos \theta )^{2}=1-\sin 2\theta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64294d6a4c979754ec9d557b7dd8d646a27dac73)
[2]
[2]
,
,![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8fcab63c19214bcd9a304f5fc89ac86e2361b8)
,
,![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e493a383947ec9f455d9817ab0754828987e83a3)
,
,![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\tan {\frac {k\pi }{2n+1}}={\sqrt {2n+1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720aef44f6ad5df0d4523a2deebb98d349a0184a)
数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》给出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
(可借由积化和差公式+2倍角公式推导而来)
- 如果
,
- 那么
![{\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78edf7300ae9d2baed840ffc0ef18cbd367b282)
- 如果
,
- 那么
![{\displaystyle \cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d9c739bbc32734b9d3f6190112719647ff9082)
- 如果
,
- 那么
![{\displaystyle \sin x+\sin y+\sin z=4\cos {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {z}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24c84765a8fa8c90d01cae62ba2ca8eca577163)
![{\displaystyle \cos x+\cos y+\cos z=1+4\sin {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {z}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f56787bd45bec901ba5ec0cc39811feeec6a74e)
- 如果
(半圆)
- 那么:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)\\&{}=\sin w\sin y+\sin x\sin z\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46648973a80e22e4237d4154b8e8b45e1750e6c)
(前三个等式是一般情况;第四个是本质。)
利用三角恒等式的指数定义和双曲函数的指数定义即可求出下列恒等式:
所以
下表列出部分的三角函数与双曲函数的恒等式:
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三角函数
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双曲函数
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![{\displaystyle \cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b0eaddee3f60e13c7d90dfdd65af6a53bd7dfc)
![{\displaystyle \sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2b3b8b9e604ec1d266ae881c8a134ff1b94117)
![{\displaystyle \cosh(x+iy)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337ae1d61cc17b94332c16bc9845f5d26220caea)
![{\displaystyle \sinh(x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478f5c2af9ccda66f3ce5f56a1cf426348631d82)
![{\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f5afafaa14ea41f5e7439e3a2c905141516872)
![{\displaystyle \cosh x=\cos ix\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53566b9877b11f34b7b27bdf17d4a68dd3da7bb0)
![{\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9acfb8a6ab10fcaa641b462fb69e022e9aabfdc)
![{\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850c0fc502268e97af08452b7698e5fa43becd4d)
对于某些用途,知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下,我们有
![{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\;(a>0)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f091c6d1ef31cb072eeed2fb823277bfa6c8af2)
这里的
![{\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92dc3bf5564467a126709ce7cf03d558a3cdb831)
这个公式也叫辅助角公式或李善兰公式。更一般的说,对于任何相位移动,我们有
![{\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\;(a+b\cos x>0)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f4ea909c9b399b0c1da7163b03de11de650ec2)
这里
![{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997d6c4bdc8f20cf41faf1d17143e1fdf4c51fdf)
而
![{\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b07526ce1bd712f19547ebb198e3a23f181f0aa)
![{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}\;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cc100ac1ad39d471cd758ed503d74f221bab5f)
![{\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}.\;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10400fb3c337b6a6490db1679f356a615c827c9b)
![{\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabac1ced39ee68830ff3f22887f23e06ae5f927)
![{\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+\left\{{\begin{matrix}\pi ,&{\mbox{if }}x,y>0\\-\pi ,&{\mbox{if }}x,y<0\\0,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f36240922788ef8548b05c56295b294867dd42)
为了用于特殊函数,有下列三角函数无穷乘积公式[3][4]:
正弦(蓝色)、正弦的微分(橘色),其中,正弦的微分正好是余弦。
余弦(蓝色)、余弦的微分(橘色),其中,余弦的微分正好是正弦的对x轴的镜射。
在微积分中,下面陈述的关系要求角用弧度来度量;如果用其他方式比如角度来这些关系会变得更加复杂。如果三角函数以几何的方式来定义,它们的导数可以通过验证两个极限而找到。第一个是:
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298e7d7055bdd323b03eac53de3e755814f80fc0)
可以使用单位圆和夹挤定理来验证。如果用洛必达法则来证明这个极限,那也就用这个极限证明了正弦的导数是余弦,并因此在应用洛必达法则中使用正弦的导数是余弦的事实,就是逻辑谬论中的循环论证了。第二个极限是:
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc57d2c09d6e33df63c9cb984290e74ff311db20)
使用恒等式
验证。已经确立了这两个极限,你可以使用导数的极限定义和加法定理来证明
和
。如果正弦和余弦函数用它们的泰勒级数来定义,则导数可以通过幂级数逐项微分得到。
![{\displaystyle {d \over dx}\sin(x)=\cos(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0292e5e62c680c10a355f65f02eb8a6e32f1b7d)
结果的三角函数可以使用上述恒等式和微分规则来做微分。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&=-{1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef6a35a53a84719fa4a70f01a76dae6d0bec936)
在三角函数积分表中可以找到积分恒等式。
三角函数(正弦和余弦)的微分是同样两个函数线性组合的事实在很多数学领域包括微分方程和傅立叶变换中是重要的基本原理。
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函数
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反函数
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Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
苏学孟. 求三角函数乘积的常用方法. 中学数学教学. 1995, (6) [2014-12-27]. (原始内容存档于2014-12-27).
Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
- A one-page proof of many trigonometric identities using Euler's formula,by Connelly Barnes.
- Useful Formulae for Hong Kong Advanced Level Examination Pure Mathematics.