单位圆

提示：此条目的主题不是单位元。

在数学中，单位圆（英语：Unit circle）是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为${\displaystyle (0,0)}$、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S¹。多维空间中，单位圆可推广为单位球。

单位圆。变量${\displaystyle t}$是角度

如果单位圆上的点${\displaystyle (x,y)}$位于第一象限，那么${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据勾股定理，${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$满足方程：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,\!}$

由于对于所有的${\displaystyle x}$来说${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$，并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆与三角函数

事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相关函数、外正割（exsec）、外余割（excsc）和历史上曾存在的弦函数（crd）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

角度 ${\displaystyle \theta }$ 的所有三角函数都可以在圆心为${\displaystyle O}$的单位圆上表示出来

• 正弦函数与余弦函数可以用如下方法定义。

设${\displaystyle (x,y)}$是单位圆上的一个点。设角${\displaystyle t}$的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

${\displaystyle \cos(t)=x\,\!}$

${\displaystyle \sin(t)=y\,\!}$

另外，从${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$可以得到

${\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}$

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数${\displaystyle k}$有恒等式

${\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}$

${\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}$

单位圆上已知准确座标的点

这些恒等式的依据是在角度 ${\displaystyle t}$ 增加任意圈数或者减小任意圈数的时候x与y坐标保持不变。一圈${\displaystyle =2\pi }$ 弧度。

复数的圆群

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示，${\displaystyle a+bi}$ 表示为${\displaystyle (a,b)}$。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

参见

• 三角函数
• 角
• 单位球
• 单位正方形
• 单位圆盘
• 圆群