夹挤定理

夹挤定理（英语：squeeze theorem），又称夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有关函数的极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同^[1]。

定义

设${\displaystyle I}$为包含某点${\displaystyle a}$的区间，${\displaystyle f,g,h}$为定义在${\displaystyle I}$上，可能不包含a点的函数。若对于所有属于${\displaystyle I}$而不等于${\displaystyle a}$的${\displaystyle x}$，有：

• ${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}$

则${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$。

${\displaystyle g(x)}$和${\displaystyle h(x)}$分别称为${\displaystyle f(x)}$的下界和上界。

${\displaystyle a}$若在${\displaystyle I}$的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于${\displaystyle x\to \infty }$，这个定理还是可用的。

例子

有关正弦函数的极限

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$，

在任何包含0的区间上，除了${\displaystyle x=0}$，${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$均有定义。

对于实数值，正弦函数的绝对值不大于1，因此${\displaystyle f(x)}$的绝对值也不大于${\displaystyle x^{2}}$。设${\displaystyle g(x)=-x^{2}}$, ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$：

${\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}$

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}$

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0}$，根据夹挤定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0}$。

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}}$，

首先用几何方法证明：若${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$，${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}$。

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。${\displaystyle C}$在${\displaystyle OD}$上，使得${\displaystyle AC}$垂直${\displaystyle OD}$。过${\displaystyle A}$作单位圆的切线，与${\displaystyle OD}$的延长线交于${\displaystyle E}$。

由定义可得${\displaystyle x=\angle AOD=arcAD}$，${\displaystyle \tan x=AE}$。

${\displaystyle AC<AD<arcAD}$

${\displaystyle \sin x<x}$

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1}$

${\displaystyle arcAD<AE}$

${\displaystyle x<\tan x}$

${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}}$

因为${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1}$，根据夹挤定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1}$。

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。 一般高斯函数的积分是${\displaystyle I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx}$，现在要求的是${\displaystyle I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$。

被积函数对于y轴是对称的，因此${\displaystyle I(\infty )}$是被积函数对于所有实数的积分的一半。

${\displaystyle (2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy}$

这个二重积分在一个${\displaystyle (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)}$的正方形内。它比其内切圆大，比外接圆小。这些可用极坐标表示：

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }$

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi }$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi }$

${\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

证明

极限为0的情况

若${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle g(x)=0}$，而且${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$。

设${\displaystyle \varepsilon >0}$，根据函数的极限的定义，存在${\displaystyle \delta >0}$使得：若${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$，则${\displaystyle |h(x)|<\varepsilon }$。

由于 ${\displaystyle 0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$，故${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|}$。

若 ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$，则${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon }$。于是，${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$。

一般情况

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

${\displaystyle 0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)}$

当${\displaystyle x\to a}$：

${\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}$

根据上面已证的特殊情况，可知${\displaystyle f(x)-g(x)\to 0}$。

${\displaystyle f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L}$。

参考

1. Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.