反正切

反正切（英语：arctangent，记为${\displaystyle \arctan }$、arctg或${\displaystyle \tan ^{-1}}$）^[1]是一种反三角函数，是利用已知直角三角形的对边和邻边这两条直角边的比值求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中，反正切被定义为一个角度，也就是正切值的反函数，由于正切函数在实数上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反正切是单射和满射也是可逆的，但不同于反正弦和反余弦，由于限制正切函数的定义域在${\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$（(-90°,90°)）时，其值域是全体实数，因此可得到的反函数定义域也是全体实数，而不必再进一步去限制定义域。

反正切
性质
奇偶性	奇函数
定义域	实数集
到达域	${\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$ (-90°,90°)
周期	N/A
特定值
当x=0	0
当x=+∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
当x=-∞	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ （-90°）
其他性质
渐近线	${\displaystyle y=\pm {\frac {\pi }{2}}}$ （y=±90°）
根	0
拐点	原点
不动点	0

由于反正切函数的定义为求已知对边和邻边的角度值，刚好可以视为直角坐标系的x座标与y座标，根据斜率的定义，反正切函数可以用来求出平面上已知斜率的直线与座标轴的夹角。

反正切函数经常记为${\displaystyle \tan ^{-1}}$，在外文文献中常记为${\displaystyle \arctan }$^[2]，在一些旧的教科书中也有人记为arctg，但那是旧的用法，不过根据ISO 31-11标准应将反正切函数记为${\displaystyle \arctan }$，因为${\displaystyle \tan ^{-1}}$可能会与${\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}$混淆，${\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}$是余切函数。

定义

原始的定义是将正切函数限制在${\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$（(-90°,90°)）的反函数
在复变分析中，反正切是这样定义的：

${\displaystyle \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {{\mathrm {i} }+x}{{\mathrm {i} }-x}}\right)\,}$

这个动作使反正切被推广到复数。

拓展到复数的反正切函数

直角坐标系中

在直角坐标系中，反正切函数可以视为已知平面上直线斜率的倾角

级数定义

反正切函数可利用泰勒展开式来求得级数的定义 反正切函数的泰勒展开式为：

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }$

当${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$且${\displaystyle x\neq \pm i}$时，这是一个收敛的级数，这使得反正切函数被定义在整个实数集上。这个级数也可以用来计算圆周率的近似值，最简单的公式是${\displaystyle x=1}$时的情况，称为莱布尼茨公式^[3]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots }$

更精确的写法是梅钦类公式

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctan} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctan} {\frac {1}{239}}}$

性质

由于反正切函数是一个奇函数，因此满足下面等式：

${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}$

反正切函数的微分导数为：

${\displaystyle {\rm {arctan}}'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle {\rm {arctan}}''x={\frac {-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}$

${\displaystyle {\rm {arctan}}'''x={\frac {\;6x^{2}-2\;}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}}$

${\displaystyle {\rm {arctan}}''''x={\frac {\;-24x^{3}+24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}}$

${\displaystyle \cdots \qquad .}$

恒等式

和差

${\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},xy<1}$（+）、${\displaystyle xy>-1}$（－）

${\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x>0,xy>1}$（+）、${\displaystyle x>0,xy<-1}$（－）

${\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=-\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x<0,xy>1}$（+）、${\displaystyle x<0,xy<-1}$（－）

Atan2

主条目：Atan2

在反三角函数中，atan2是反正切函数的一个变种，有两个变量，主要是提供给计算机编程语言一个简便的角度计算方式，其定义为：

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$

参考文献

1. Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
3. Connue des anglophones sous le nom de "formule de 詹姆斯·格雷果里" ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava of Sangamagrama（英语：Madhava of Sangamagrama） au quatorzième siècle ; voir l'article de la Wikipedia anglophone pourplus de détails

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Tangent. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Machin-Like Formulas. MathWorld.

参见

• 正切
• 余切