Atan2

在三角函数中，两个参数的函数${\displaystyle \operatorname {atan2} }$是正切函数${\displaystyle \tan }$的一个变种。对于任意不同时等于0的实参数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$所表达的意思是坐标原点为起点，指向${\displaystyle (x,y)}$的射线在坐标平面上与x轴正方向之间的角的角度。当${\displaystyle y>0}$时，射线与x轴正方向的所得的角的角度指的是x轴正方向绕逆时针方向到达射线旋转的角的角度；而当${\displaystyle y<0}$时，射线与x轴正方向所得的角的角度指的是x轴正方向绕顺时针方向达到射线旋转的角的角度。

在几何意义上，${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$等价于${\displaystyle \operatorname {atan} ({\frac {y}{x}})}$，但${\displaystyle \operatorname {atan2} }$的最大优势是可以正确处理${\displaystyle x=0}$而${\displaystyle y\neq 0}$的情况，而不必进行会引发除零异常的${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$操作。

${\displaystyle \operatorname {atan2} }$函数最初在计算机编程语言中被引入，但是现在它的应用在科学和工程等其他多个领域十分常见。他的出现最早可以追溯到FORTRAN语言^[1]，并且可以在C语言的数学标准库的math.h文件中找到，此外在Java数学库、.NET的System.Math（可应用于C#、VB.NET等语言）、Python的数学模块以及其他地方都可以找到atan2的身影。许多脚本语言，比如Perl，也包含了C语言风格的atan2函数^[2]。

函数定义

该函数基于值域为 ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 的反正切函数，定义如下：

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$

说明:

• 该函数的值域为${\displaystyle \left(-\pi ,\pi \right]}$，可以通过对负数结果加${\displaystyle 2\pi }$的方法，将函数的结果映射到${\displaystyle \left[0,2\pi \right)}$范围内。

其他软件中的变形

不同计算机语言中该函数的实现各有差异。

vb6:

atan2(x,y)=

(x<>0+y<>0)*

(x<=0)*2*Atn(sgn(y)^sgn(y))/2^(x<>0)-

(x<>0)*Atn(y*x^(x<>0))

adodb.connect.execute:

SELECT (x<>0+y<>0)*(x<=0)*2*Atn(sgn(y)^sgn(y))/2^(x<>0)-(x<>0)*Atn(y*x^(x<>0)) AS AT_ FROM (SELECT Col1 AS x,Col2 AS y) T_

(x<>0+y<>0)可省略

有关图片

单位圆内的atan2取值

旁边的图片显示内容是：在一个单位圆内${\displaystyle \operatorname {atan2} }$函数在各点的取值。圆内标注代表各点的取值的幅度表示。

图片中，从最左端开始，角度的大小随着逆时针方向逐渐从${\displaystyle -\pi }$增大到${\displaystyle +\pi }$，并且角度大小在点位于最右端时，取值为0。

另外要注意的是，函数${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$中参数的顺序是倒置的，${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$计算的值相当于点${\displaystyle (x,y)}$的角度值。

下方的图片显示的是单位圆上各点在atan2函数上的值，从原点射向${\displaystyle (0,1)}$点的射线，开始绕逆时针方向可以与x轴正方向得到对应各点的复平面的复角，其中几个特殊点取值：

• ${\displaystyle (0,1)}$对应的复平面夹角为${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$，
• ${\displaystyle (-1,0)}$对应复平面的夹角为${\displaystyle \pi }$，
• ${\displaystyle (0,-1)}$对应复平面的夹角为${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$，
• 回到${\displaystyle (1,0)}$复平面的夹角为${\displaystyle 0=(2n\pi \mod 2\pi )}$。

这些你可以直观地从图中看出。^[3]

下面的插图分别显示的是${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$和${\displaystyle \operatorname {atan} ({\frac {y}{x}})}$在坐标平面的三维景象。

注意在${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$函数中，从原点辐射出的射线上有常数值，而在${\displaystyle \operatorname {atan} ({\frac {y}{x}})}$的函数中，经过原点的直线有常数值。

参考文献

1. Organick, Elliott I. A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley. 1966: 42. Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent).
2. The Linux Programmer's Manual [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） says:

   "The atan2() function calculates the arc tangent of the two variables y and x. It is similar to calculating the arc tangent of y / x, except that the signs of both arguments are used to determine the quadrant of the result."

3. Computation of the external argument by Wolf Jung. [2011-04-10]. （原始内容存档于2011-07-14）.

参见

• 辐角
• 复数
• 反三角函数中的反正切（正切函数的反函数）

外部链接

• Java 1.6 SE JavaDoc（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• C++ Programmer's Reference（页面存档备份，存于互联网档案馆）