反正弦

反正弦（arcsine，${\displaystyle \arcsin }$，${\displaystyle \sin ^{-1}}$）是一种反三角函数，也是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中，反正弦被定义为一个角度，也就是正弦值的反函数。在实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$内，正弦函数的值域为${\displaystyle \left[-1,1\right]}$，不是一个双射函数，故在整个定义域上无法有单值的反函数；但若限定正弦函数的定义域在${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right]}$（[180°k-90°,180°k+90°]）内，则正弦函数有反函数。在实数域内，通常将反正弦函数的定义域限制在区间${\displaystyle \left[-1,1\right]}$，值域限制在区间${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$（[-90°,90°]）中；若利用自然对数，则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集，但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。

反正弦
性质
奇偶性	奇
定义域	[-1, 1]
到达域	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ （[-90°,90°]）
周期	N/A
特定值
当x=0	0
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
最小值	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ （-90°）
其他性质
渐近线	N/A
根	0
拐点	原点
不动点	0

命名

反正弦的符号是arcsin，也常常写作${\displaystyle \sin ^{-1}}$。如此写法可以被接受的理由是，正弦函数的倒数是余割，有单独的写法，因此不易和${\displaystyle \sin ^{-1}}$混淆。另外在某些计算机的按键或电脑的编程语言中，反正弦会以asin或asn表示。

定义

原始的定义是将正弦函数限制在${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$（[-90°,90°]）的反函数，得到如下定义域和值域：

${\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

（${\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-90^{\circ },90^{\circ }\right]}$）

利用自然对数可将定义推广到整个复数集：

${\displaystyle \arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$

拓展到复数的反正弦函数

运算

反正弦函数的导数是：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

故实数域内，它在整个定义域上单调递增。

反正弦函数的泰勒级数是：

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots }$.

反正弦函数是奇函数，故：

${\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x}$

另外，反正弦的和差也可以合并成一个反正弦来表达：

${\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}}$

其中${\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)}$。

和差公式：

${\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}$

倍变数公式：

${\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)}$（对0 ≤ kx ≤ 1）

${\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}$

参见

• 正弦
• 反余弦