余函数

  本条目介绍的是三角函数中的一个概念，余函数也可以指特定情况下微分方程的通解。

在数学中，余函数（cofunction或complementary function） 是一个用来描述三角函数间关系的术语。如果函数 f 是函数 g 的余函数，那么 f 的函数值等于对应余角代入函数 g 的函数值，也就是说，若f(A) = g(B)，则A与B互为余角（即两个角之和为直角）。^[1]这个定义通常适用于三角函数。^[2][3] 某个函数的余函数通常会在原函数的名称加上“co-”前缀，这样的用法最早可以追朔到埃德蒙·冈特（英语：Edmund_Gunter）在1620年的著作《Canon triangulorum》中。^[4][5]

定义

如果一个三角函数 f 是函数 g 的余函数，此时若：

${\displaystyle f(x)=g(y)}$

则x和y互为余角：

${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-y}$

${\displaystyle x=90^{\circ }-y}$

对于非三角函数（如双曲函数），或者定义域所代表的意义并非角的度量，则不适用于以上定义。但有些余函数的定义是参考于与其相关的三角函数，例如双曲正弦、双曲余弦、古德曼函数以及余古德曼函数是在定义中将对应的三角函数替换为余函数来定义。

例如，正弦（sine，拉丁语：sinus）和余弦（cosine，拉丁语：cosinus^[4][5]、sinus complementi^[4][5]）互为余函数（所以余弦名称有一个“余”字，cosine且以“co-”为前缀）：

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}$[1][3]

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}$[1][3]

正割（secant，拉丁语：secans）和余割（cosecant，拉丁语：cosinus、secans complementi）以及正切（tangent，拉丁语：tangens）和余切（cotangent，拉丁语：cotangens^[4][5]、tangens complementi^[4][5]）也互为余函数：

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}$[1][3]	${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}$[1][3]
${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}$[1][3]	${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}$[1][3]

这些等式也称为余函数恒等式。^[2][3]

余函数列表

其他互为余函数的三角函数还有：

• 正矢（versed sine，缩写ver）和余矢（coversed sine，cvs）
• 余的正矢（versed cosine，缩写vcs）和余的余矢（coversed cosine，cvc）
• 半正矢（haversine，缩写hav）和半余矢（hacoversine，缩写hcv）
• 余的半正矢（havercosine，缩写hvc）和余的半余矢（hacovercosine，缩写hcc）
• 正弧和余弧
• 外正割（exsecant，缩写exs）和外余割（excosecant，缩写exc）

正弦和余弦	${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}$[1][3]	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}$[1][3]
正割和余割	${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}$[1][3]	${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}$[1][3]
正切和余切	${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}$[1][3]	${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}$[1][3]
正矢和余矢	${\displaystyle \operatorname {ver} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvs} (A)}$[6]	${\displaystyle \operatorname {cvs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {ver} (A)}$
余的正矢和余的余矢	${\displaystyle \operatorname {vcs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvc} (A)}$[7]	${\displaystyle \operatorname {cvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {vcs} (A)}$
半正矢和半余矢	${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcv} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {hcv} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hav} (A)}$
余的半正矢和余的半余矢	${\displaystyle \operatorname {hvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcc} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {hcc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hvc} (A)}$
外正割和外余割	${\displaystyle \operatorname {exs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exc} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {exc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exs} (A)}$

正函数与余函数

余函数不一定是代表两函数间的关系，也可以是一种函数的分类。例如三角函数也可以根据性质区分成正函数与余函数。例如正弦、正切、正割可以称为正函数，而余弦、余切、余割则称为余函数。正函数代表的是对于该正角在单位圆上割圆八线的各段长度；余函数代表的是对于该余角在单位圆上割圆八线的各段长度。

参见

• 双曲函数
• 双纽余弦（英语：Lemniscatic cosine）
• 雅可比椭圆余弦
• 协方差
• 三角恒等式

参考文献

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich. Chapter II. The Acute Angle [10] Functions of complementary angles. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company. January 1909: 11–12.
2. Aufmann, Richard; Nation, Richard. Algebra and Trigonometry 8. Cengage Learning. 2014: 528 [2017-07-28]. ISBN 978-128596583-3.
3. Bales, John W. 5.1 The Elementary Identities. Precalculus. 2012 [2001] [2017-07-30]. （原始内容存档于2017-07-30）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. Gunter, Edmund. Canon triangulorum. 1620.
5. Roegel, Denis (编). A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620) (Research report). HAL. 2010-12-06 [2017-07-28]. inria-00543938. （原始内容存档于2017-07-28）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
6. Weisstein, Eric Wolfgang. Coversine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. [2015-11-06]. （原始内容存档于2005-11-27）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
7. Weisstein, Eric Wolfgang. Covercosine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. [2015-11-06]. （原始内容存档于2014-03-28）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）