反正割

反正割（英语：arcsecant^[3]、记为：${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$或${\displaystyle \sec ^{-1}}$）是一种反三角函数^[4]，对应的三角函数为正割函数，用来计算已知斜边与邻边的比值求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数，其输入值与反余弦互为倒数。

反正割
性质
奇偶性	非奇非偶
定义域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}}$[1]
到达域	${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq 90^{\circ }\right\}}$
周期	N/A
特定值
当x=0	不存在[注 1]
当x=+∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
当x=-∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
当x=1	0
当x=-1	${\displaystyle \pi }$ （180°）
其他性质
渐近线	${\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}$ （y=90°）

由于正割函数在实数上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反正割是单射也是可逆的，由于限制正割函数的定义域在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0, 180°]）时，其值域是全体实数，但在区间${\displaystyle [-1,1]}$不存在。

符号

反正割一般记为${\displaystyle \sec ^{-1}z}$^[5]或${\displaystyle \operatorname {arcsec} z}$^[6][7][8][9]，以表示正割的反函数。也有以大写书写的版本Arcsec z^[10]和Sec^-1 z一般用于表示多值函数^[6]。在符号${\displaystyle \sec ^{-1}z}$上的上标-1是表示反函数，而不是乘法逆元素。但根据ISO 31-11应将反正切函数记为${\displaystyle \operatorname {arcsec} z}$，因为${\displaystyle \sec ^{-1}}$可能会与${\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}$混淆，${\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}$是余弦函数。

定义

原始的定义是将正割函数限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0, 180°]）的反函数
在复变分析中，反正割是这样定义的：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,}$

这个动作使反正割被推广到复数。

下图表示推广到复数的反正割复数平面函数图形，可以见到图中央有一条明显的横线正好是实数中未被定义的区间[-1,1]。

拓展到复数的反正割函数

直角三角形中

在直角三角形中，反正割定义为已知斜边c与邻边b比值对应的${\displaystyle \angle A}$的大小，也就是：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}$

• 
  直角三角形，C为直角，对于角A而言，a为对边、b为邻边、c为斜边
• 
  直角三角形，已知斜边斜边为x且邻边为单位长

此外在直角三角形中，若已知斜边为${\displaystyle x}$且邻边为单位长，${\displaystyle x}$代入反正割可求得对应的角的大小：

${\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}$

因此，根据毕氏定理可以使反正割利用其他反三角函数表示：

${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$

直角坐标系中

若${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个未知的象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，若已知${\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!}$，则可利用反正割求得未知的象限角${\displaystyle \alpha }$：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}$

级数定义

反正割函数可以使用无穷级数定义：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}$

反正割函数的泰勒展开式为：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }$

参见

• 反余弦
• 正割
• 余弦

注释

1. 由于反正割在x=0未定义，因此考虑复变反正割函数，^[2]但由在x=0时于左极限不等于右极限，因此也不存在极限因此Arcsec 0不存在。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. 反正割在x=0的极限 wolframalpha.com [2014-08-08]
3. 反正割arcsecant-学术名词资讯 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 国家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
4. Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
5. Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
6. Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
7. Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
8. Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
9. 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
10. Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.

外部链接

• 数学主题

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Secant. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Arcsecant. MathWorld.