正二十面体

正二十面体是一种正多面体，由20个正三角形组成。同时，它也是帕雷托立体、三角面多面体以及康威多面体。正二十面体是所有五种凸正多面体面数最多的。

正二十面体

(按这里观看旋转模型)
类别	帕雷托立体 正多面体
对偶多面体	正十二面体
识别
名称	正二十面体
参考索引	U22, C25, W4
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ike
数学表示法
施莱夫利符号	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ {3,5}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	5 | 2 3
康威表示法	I sT
性质
面	20
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
二面角	138.189685°
组成与布局
面的种类	正三角形
面的布局 （英语：Face configuration）	20个{3}
顶点图	3.3.3.3.3
对称性
对称群	Ih
特性
正凸三角面多面体
图像
3.3.3.3.3 （顶点图） （展开图）
查 论 编

正二十面体有20个面、30个边和12个顶点，其对偶是正十二面体。它的顶点布局（英语：Vertex_configuration）为3.3.3.3.3或3⁵，在施莱夫利符号中可用{3,5}来表示。

与正十二面体的关系

在平面上，正多边形内接到圆时，边数越多，占圆面积的百分比就越高；而在三维空间中，这个规则却不可推广——当正十二面体和正二十面体内接到一个球时，前者约占66.4909%，后者仅占60.5461%。

正十二面体是正二十面体的对偶多面体。

外接球与内切球

若有一个边长为a的正二十面体，则它的外接球（同时过该正二十面体所有顶点的球）的半径为：

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a}$ A019881

则有内切球（同时和该正二十面体所有面相切的球）的半径为：

${\displaystyle r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a}$ A179294

另外，若有一个球同时过该正二十面体所有边的中点，那它的半径为：

${\displaystyle r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a}$ A019863

其中φ （也称作τ）为黄金比例。

体积与表面积

若用A表示表面积、V表示体积，而a是正二十面体的边长，则有：

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},}$ A010527

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.}$ A102208

后者约为正四面体的F=20倍，因为20面体以外接球球心为中心可以切割出20个四面体，每个四面体的体积是底面积 √3a²/4乘上高r_i再乘三分之一。

正二十面体占其外接球体的体积填充率是：

${\displaystyle f=V/(4\pi r_{u}^{3}/3)={\frac {20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi }}\approx 0.6054613829.}$

直角坐标系

正二十面体的顶点能共同分成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形。

在直角坐标系中，一个边长为二、几何中心在原点的正二十面体的坐标分别为：^[1]

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

其中φ = 1 + √5/2是黄金比例（或记为τ）。值得注意的是，这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形，其边形成博罗梅安环（英语：Borromean rings），其中，前者是因为正二十面体与黄金比例有密切的关系。 如果原始的二十面体的边长为1，那么它的对偶——正十二面体的边长就是√5 − 1/2，正好是一个黄金比例。

一个由塑胶棒和磁铁与金属球连接的正二十面体模型

12条边的一个正八面体可以被细分在黄金比例，使所得到的顶点可构成一个正二十面体。这首先要使沿着八面体边的向量连成一个有界的环，再沿着向量的方向以黄金比例作分割。

球面坐标

正二十面体是一个D_5d二面体对称对称的一个双五角锥反角柱，且顶点可以定义在球面坐标系上，其中两个顶点在球的两极，其余在纬度±arctan(1/2)的位置。可以发现剩余的10顶点属于反棱柱对称，从一个定点，经度每36°做一次极轴与赤道镜射，直到回到原始点。

与黄金分割的关系

若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)}，在此Φ = √5 − 1/2，即黄金分割数。因此，这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形。

正交投影

正二十面体有3种特殊的正交投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。

正交投影

正对于	面	棱	顶点
考克斯特平面（英语：Coxeter plane）	A2	A3	H3
图像
投影 对称性	[6]	[2]	[10]
图像	面法线	棱法线	对角线

其它事实

• 正二十面体有43,380种不同的展开图。
• 若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少需要3种颜色。
• 内接与同一球的正二十面体和正十二面体，正二十面体所占球的体积（60.54%）要小于正十二面体所占的体积（66.49%）。

通过一系列等夹角线段构造正二十面体

正二十面体 H3考克斯特平面	六维正轴体（英语：6-orthoplex） D6考克斯特平面
这个操作可以以几何的观点被看作六维正轴体的12个顶点投影到三维空间。这代表着一个D6到H3考克斯特群的几何折叠（英语：Coxeter–Dynkin diagram#Geometric_folding）： 见这些二维考克斯特平面（英语：Coxeter plane）正交投影，中间投影后重合的两个顶点给出了这个图像中的第三根轴

以下构建正二十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}$中的复杂计算。
正二十面体的存在性依赖于${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中6条等夹角线的存在性。事实上，我们很容易便可以发现，这样一组等夹角线与欧几里得空间中的球心在等夹角线所共的交点的球相交，得出的交点即是一个正二十面体的12个顶点。从相反方向考虑，假设这里存在一个正二十面体，它的6对相对顶点的连线（对角线）就形成了那样一个等夹角线系统。
为了构建这样一个等夹角线系统，我们开始于一个6×6方形矩阵。

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).}$

通过直接的计算，我们可以得出A²=5I（在这里I是6×6单位矩阵）。这表明矩阵I的特征值是√5和-√5，并且它们的复杂性都是3，因为A是对称的，并且它的迹是0。
矩阵${\displaystyle \scriptstyle A+{\sqrt {5}}I}$在商空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)}$中引出了一个同构于${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的欧几里得结构因为它的核${\displaystyle \ker(A+{\sqrt {5}}I)}$是三维的。在${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$中，它的六条坐标轴线${\displaystyle \mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}}$在投影${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)}$下的图像形成了这样一个在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中由六条等夹角线组成的系统，它们都相交于一点，两两之间都夹着锐角${\displaystyle \scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}}$。±v₁，...，±v₆向A的√5-特征空间的正交投影形成了正二十面体的12个顶点。
正二十面体另一个直接的构造用到了交错群A₅的群表示论方法，它直接利用了正二十面体的等距同构。

半正涂色和子对称群

正二十面体作为扭棱四面体，可以通过旋转正四面体的正三角形面，并在4个顶点处插入新的三角形，在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造

作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱正四面体，具有手征性正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）；它亦可以被描述成交错截顶正八面体，有五角十二面体对称性（英语：pyritohedral symmetry）。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体是五角十二面体的对偶。

名称	正二十面体	交错 截角八面体	扭棱 正四面体	正五 双锥反柱体
考克斯特-迪肯（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,5}	h0,1{3,4}	s{3,3}
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	5 | 3 2		| 3 3 2
对称性（英语：List of spherical symmetry groups）	Ih [5,3] (*532)	Th [3+,4] (3*2)	T [3,3]+ (332)	D5d [2+,10] (2*5)
对称群阶	60	24	12	10
半正涂色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

与其它几何图形的关系

正二十面体是正二十面体家族的一员：

正二十面体家族半正多面体

对称群: [5,3]（英语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

作为扭棱正四面体和交错截顶正八面体，正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员：

正四面体家族半正多面体

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联：

多面体				欧式镶嵌	双曲镶嵌
{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}	...	{3,∞)

球面镶嵌		双曲面镶嵌
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞,5}

正二十面体和三个星形正多面体有着相同的顶点排布。其中与大十二面体还有相同的棱排布：

图像	大十二面体	小星形十二面体	大二十面体
考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）

虽然由于正二十面体的二面角太大（约138.189685°>120°），因此正二十面体不可能密铺三维欧几里得空间，但它可以密铺适当的双曲空间，称为三阶正二十面体堆砌（英语：Icosahedral honeycomb），每条棱处有三个正二十面体相交，每个顶点处有12个正二十面体相交，因此顶点图是正十二面体，施莱夫利符号{3,5,3}，是四个三维双曲空间中的正堆砌之一。

这里我们用庞加莱圆盘模型上的线架来表示它，中心的正二十面体被涂上了颜色。

类别	帕雷托立体					卡塔兰立体
种子	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	aC	aD
倒角	cT	cC	cO（英语：Chamfered octahedron）	cD	cI	caC	caD

应用

二十面的骰子

电子显微镜下观察的金原子

γ-硼的结构

由于正二十面体非常均匀，且有20个面，因此适合作成骰子。

在生物学中

噬菌体

某些病毒，如疱疹病毒科、诺罗病毒、腺病毒和噬菌体等，拥有正二十面体的衣壳。^[2][3]在有些细菌中还发现具有二十面体形状的各种细菌的胞器，^[4]二十面体的壳包住酶和不稳定的中间产物，该壳由具BMC结构域（英语：BMC domain）的不同蛋白质构成。

1904年，恩斯特·海克尔发表了一些放射虫的种类，包括Circogonia二十面体（Circogonia icosahedra），其骨架的形状像一个正二十面体。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment （页面存档备份，存于互联网档案馆）. eds. S. Draggan and C. Cleveland
3. 存档副本. [2005-06-25]. （原始内容存档于2006-03-25）.
4. Bobik, T.A., Bacterial Microcompartments, Microbe (Am. Soc. Microbiol.), 2007, 2: 25–31, （原始内容存档于2013-07-29）

• Klein, Felix, Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, 1888, Dover edition ISBN 978-0-486-49528-6.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 正二十面体 （参阅帕雷托立体） 于MathWorld（英文）
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3o5o - ike. bendwavy.org.
• Hartley, Michael. Dr Mike's Math Games for Kids. [2013-03-23]. （原始内容存档于2021-02-07）.
• Webb, Robert. Icosahedron. [2013-03-23]. （原始内容存档于2021-01-24）.
• The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Interactive Icosahedron model - works right in your web browser
• Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra
• Tulane.edu A discussion of viral structure and the icosahedron
• Paper Models of Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） Many links
• Origami Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） - Models made with Modular Origami
• Video of icosahedral mirror sculpture （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• [1] Principle of virus architecture
• Stella: Polyhedron Navigator （页面存档备份，存于互联网档案馆）: Software used to create some of the images on this page.