截角二十面体

在几何学中，截角二十面体是一种由12个正五边形和20个正六边形所组成的凸半正多面体，同时具有每个三面角等角和每条边等长的性质，因此属于阿基米德立体^[1]，但由于其并非所有面全等因此不能算是正多面体。由于其包含了正五边形和六边形面，因此也是一种戈德堡多面体^[2]，其对偶多面体为五角化十二面体。这种结构最早由列奥纳多·达·芬奇给予描述，后来出现于许多艺术创作和学术研究中。自1970年墨西哥足球世界杯之后，这种形状成为了足球的代表性形状^[3][4]，并且会在六边形涂上白色、五边形涂上黑色。在科学领域中，这种形状亦有许多用途，例如建筑学家巴克明斯特·富勒提出的网格球顶（英语：Geodesic dome）结构，甚至在核子武器的引爆技术上也有使用这种形状的设计。巴克明斯特富勒烯分子（C₆₀）也是这种形状。

截角二十面体

（点此查看旋转模型）
类别	阿基米德立体 半正多面体 戈德堡多面体
对偶多面体	五角化十二面体
识别
名称	截角二十面体
参考索引	U25, C27, W9
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ti
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t{3,5} t0,1{3,5}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 5 | 3
康威表示法	tI
性质
面	32
边	90
顶点	60
欧拉特征数	F=32, E=90, V=60 （χ=2）
二面角	6-6: 138.189685° 6-5: 142.62085°
组成与布局
面的种类	正五边形 正六边形
面的布局 （英语：Face configuration）	12{5}+20{6}
顶点图	5.6.6
对称性
对称群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, H3, [5,3], (*532), order 120
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	I（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3]+, (532), order 60
特性
半正、凸
图像
5.6.6 （顶点图） 五角化十二面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

历史

1509年绘制于《De divina proportione》的截角二十面体插图。

这种形状的骨架结构最早由列奥纳多·达·芬奇给予描述^[5]，虽然阿基米德被认为是最早想出十三种阿基米德立体的学者，这十三种立体中也包括了截角二十面体^[6]，但并未留下明确直接提及此形状的文献记录。阿尔布雷希特·丢勒也重现了一个类似截角二十面体的多面体，包含12个五角形和20个六角形面，但是没有明确的文献记录^[7][8]，不过部分文献认为这是最早的截角二十面体图像^[9]，不过这个时候还没有“截角”的概念。直到了16、17世纪时，约翰内斯·开普勒才引入了“截角”的概念^[9]，才得以将这个形状与正二十面体联系起来。自1970年墨西哥世界杯之后，截角二十面体成为足球的代表性形状。^[3][4]

性质

截角二十面体是一种半正多面体，由五边形和六边形组成^[10]，每个顶点都是两个六边形和一个五边形的公共顶点^[11]，在顶点图中可计为5.6.6，因此具有点可递的性质。由于其可以借由正二十面体透过截角变换，变换而成，因此称为截角二十面体^[12]。由于此原因，截角二十面体在施莱夫利符号中可以用t{3,5}来表示，其中，t表示截角变换，{3,5}表示正二十面体（每个顶点都是五个三角形的公共顶点）。^[13]

分类

在几何学中，截角二十面体是一种半正多面体，由于其具有点可递的性质，因此属于阿基米德立体^[1]。它由12个正五边形面、20个正六边形面、60个顶点和90个边构成。由于包含了正五边形和六边形面因此也是一种戈德堡多面体，在戈德堡符号中可用GP_V(1,1) 或 {5+,3}_1,1表示^[2]。而1983年时，温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多多面体模型，其中也收录了此种形状，并给予编号W₉^[13]。

组成

截角二十面体与正二十面体和正十二面体的关联。

截角二十面体共有90条棱和60个顶点^[14]，正二十面体是由20个正三角形组成。把正二十面体的棱做三等分，则20个正三角形的面就得到了20个正六边形；同时把正二十面体的所有12个顶点削去^[15]，则每个顶点由上述三等分点形成的正五边形代替^[12][16]。这就形成了截角二十面体^[17]。由于正二十面体有20个正三角形的面，30条棱。每条棱做三等分则有2个分割点，由此削去正二十面体所有12个顶点后得到的截角二十面体有60个顶点。^[12]

面的组成

截角二十面体由32个面组成，在这32个面中，共包含了12个正五边形面和20个正六边形面，其顶角皆为三面角^[18]，由2个六边形和一个五边形组成，换句话说，即每个顶点都是2个六边形和一个五边形的公共顶点，其顶点图可以计为5.6.6^[19]。另外，在这个结构中，五边形面彼此不相邻。^[20]

顶点布局（英语：Vertex_configuration）5.6.6

尺寸

截角二十面体已知可以透过切去正二十面体的十二个顶点来构造，并且确保切出来的立体都是等边多面体。

从截角二十面体的展开图可以看出构成截角二十面体表面的所有形状，只要将这些形状的面积加总即可求得截角二十面体的表面积。

若以a表示棱长，则截角二十面体的外接球半径为^[21]：

${\displaystyle {a \over 2}{\sqrt {9\phi +10}}\approx 2.4780~a}$

关于截角二十面体的体积，由于截角二十面体已知可以透过切去正二十面体的十二个顶点来构造，并且已知目标立体为等边多面体，因此可以知道被切下来的12个锥体是等边正五角锥。所以截角二十面体的体积可以透过正二十面体的体积减去12个锥体是等边正五角锥来计算^[21]，其结果为^[22]：

体积：${\displaystyle V={1 \over 4}(125+43{\sqrt {5}})~a^{3}\approx 55.2877~a^{3}}$

而关于截角二十面体的表面积，已知截角二十面体由12个正五边形和20正六边形所组成，因此截角二十面体的表面积可以透过12倍正五边形面积与20倍正六边形面积的和来计算^[21]，其结果为^[22]：

表面积：${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}\\&=3(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})~a^{2}\approx 72.6073~a^{2}\end{aligned}}}$

顶点坐标

边长为2，几何中心位于原点的截角二十面体，其顶点的坐标为：^[23]

(0, ±1, ±3φ)

(±1, ±(2 + φ), ±2φ)

(±2, ±(1 + 2φ), ±φ)

其中φ = (1+√5)/2，黄金分割数；此时棱长为 2，外接球半径为 ${\displaystyle {\sqrt {9\phi +10}}}$。^[24]

二面角

截角二十面体有两种二面角，一个为两个六边形的交角，另一个为五边形与六边形的交角^[22]：

其中，两个六边形的交角为:

${\displaystyle \arccos {\frac {-{\sqrt {5}}}{3}}\approx 138.18968510^{\circ }}$^[22]

其中，五边形与六边形的交角为:

${\displaystyle \arccos {\left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}\approx 142.62263185^{\circ }}$^[22]

另外，其两个六边形的共线与五边形的交角为:

${\displaystyle \arccos {\left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}\approx 148.2825255^{\circ }}$

以及五边形和六边形的共线与邻近的六边形的交角为144°。

正交投影

截角二十面体有五种具有特殊对称性的正交投影，分别是以顶点为中心、以边为中心（两种）、以六边形面为中心以及以五边形面为中心的正交投影。所述后者两种正交投影，其对称性对应于A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[25][26]。

正交投影

投影位置	顶点	五边形-六边形 棱	六边形-六边形 棱	六边形面	五边形面
立体
图像
投影 对称性	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
对偶

球面镶嵌

截角二十面体也可以表示为球面镶嵌，并通过球极投影，投影到平面上。 这个投影是一个等角投影，虽然长度发生改变，但保留了角度信息。 球面镶嵌上的直线投影到了平面后成为了弧线。其结果与足球十分相似。^[27][16]

	以五边形为中心	以六边形为中心
正交投影	球极平面投影

应用

截角二十面体在日常生活^[3]、艺术、自然科学和技术等领域中皆有用途。

在科学中

截角二十面体的爆缩透镜（日语：爆縮レンズ）。

在化学中也有一些分子的形状为截角二十面体，如富勒烯C₆₀^[8][28]，这种分子于1985年被发现，其直径约为0.71纳米^[29]，由60个碳原子组成，且每个碳原子正好位于截角二十面体的顶点上^[30]。这种形状也用于核子武器中，聚焦雷管的爆炸冲击波用的爆缩透镜（日语：爆縮レンズ），并配置于三位一体和胖子等原子弹中^[31][32]。 截角二十面体的一种变体也曾用于由聚集材料制成的窝状车轮胎框的基础，其使用了富勒的网格球顶的部分几何结构（截角二十面体的局部），其被庞蒂克汽车部门在1971年至1976年间用于Trans Am和Grand Prix中^[33]。此外，由于这个几何结构与建筑学家巴克明斯特·富勒设计的1967年世界博览会美国馆网格球顶（英语：Geodesic dome）时分相似，为了表达对他的敬意，有时会将其称为“巴克球”（buckyball）^[34]。

在文化中

截角二十面体的球面镶嵌被运用在足球和手球的形状上^[16]，大致上使得截角二十面体被认为是在日常生活中最著名的球面多面体之例子^[3]。这些球类运动所使用的球体皆包含了相同的正五边形和正六边形图案，但由于运动用球内部通常会充气，使得空气的压强令球具有弹性、更加接近球体。足球的模样自1970年墨西哥世界杯之后为截角二十面体。^[3][35]

在艺术中

截角二十面体出现于列奥纳多·达·芬奇绘制于卢卡·帕西奥利的著作《Divina proportione》中的插图。^[36]

• 
  截角二十面体（左）与足球
• 
  富勒烯 C₆₀ 分子模型
• 
  外型为截角二十面体的气象雷达
• 
  用6061-T6铝加工而成的截角二十面体
• 
  乔治·W·哈特（英语：George W. Hart）的截角二十面体木头模型。
• 
  与截角二十面体对应的球面镶嵌（截角五阶三角形镶嵌）设计的闪光球（英语：Sparkleball）

相关多面体与镶嵌

截角二十面体是正二十面体经过截角变换后的结果^[24]，其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有：

正二十面体家族半正多面体

对称群: [5,3]（英语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

截角二十面体可视为一种截角的正球面镶嵌——截角五阶三角形镶嵌，即足球^[3]。其他截角正镶嵌几何结构包含：

截角镶嵌对称性 *n32 的变种: n.6.6
Sym. *n42 [n,3]	球面镶嵌（英语：List of spherical symmetry groups）				欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	紧凑双曲		仿紧双曲	非紧双曲
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
截角镶嵌图
顶点（英语：Vertex configuration）	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6（英语：Truncated order-8 triangular tiling）	∞.6.6（英语：Truncated infinite-order triangular tiling）	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis镶嵌图
顶点（英语：Vertex configuration）	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

部分均匀星形多面体和一个星形二十面体的凸包为非半正的截角二十面体：^[37]

凸包为截角二十面体的星形多面体
非半正截角二十面体 2 5 | 3 U37 2 5/2 | 5 U61 5/2 3 | 5/3 U67（英语：Nonconvex great rhombicosidodecahedron） 5/3 3 | 2 U73 2 5/3 (3/2 5/4) 完全星形二十面体 非半正截角二十面体 2 5 | 3 U38 5/2 5 | 2 U44（英语：Icosidodecadodecahedron） 5/3 5 | 3 U56 2 3 (5/4 5/2) | 非半正截角二十面体 2 5 | 3 U32 | 5/2 3 3

在双曲空间中，过截角五阶十二面体堆砌（Truncated order-5 dodecahedral honeycomb）由截角二十面体独立堆砌而成，在考克斯特记号中，计为，其顶点图为锲形体。^[38][39]

在四维空间中，部分多胞体含有截角二十面体形状的胞，例如大斜方六百胞体（Great rhombated hexacosichoron^[40]或称Cantitruncated 600-cell）和过截角一百二十胞体（Bitruncated 120-cell）。^[23]其中大斜方六百胞体共由1440个胞、8640个面、14400条边和7200个顶点所组成，在其1440个胞中有120个截角二十面体、720个正五角柱和600个截角八面体^[41]。而过截角一百二十胞体共由720个胞、4320个面、7200条边和3600个顶点所组成，在其720个胞中有120个截角二十面体和600个截角四面体^[42]。

大斜方六百胞体	过截角一百二十胞体
（展开图）	（展开图）

截角二十面体图

截角二十面体图
6边形置中心的施莱格尔图（英语：Schlegel_diagram）
顶点	60
边	90
自同构群	120
色数	3
属性	立方体（英语：Cubic graph）、哈密顿、正则、零对称性（英语：Zero-symmetric graph）
查 论 编

在图论的数学领域中，截角二十面体图是阿基米得立体中截角二十面体之边与顶点的图（英语：n-skeleton）^[43]，其有时被称为巴克明斯特富勒图^[44]。共有60个顶点和90条棱，且是立方体（英语：Cubic graph）的阿基米德图（英语：Archimedean graph）^{[45][46][44][43]}。

正射投影

五折对称性

5边形置中心的施莱格尔图（英语：Schlegel_diagram）

参见

• 正十二面体

参考文献

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参考书目

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外部链接

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