在几何学 中,小斜方截半二十面体 是一种半正多面体 ,由于其具有点可递的性质,因此属于阿基米德立体 [ 1] 。它由20个正三角形 面、30个正方形 面、12个正五边形 面、60个顶点和120条棱构成[ 2] 。其对偶多面体 为筝形六十面体 [ 3] 。
Quick Facts 类别, 对偶多面体 ...
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约翰内斯·开普勒 在他1618年出版的《世界的和谐 》中,将这个多面体命名为小斜方截半二十面体 (rhombicosidodecahedron),可以看做是截角截半二十面体菱形 (truncated icosidodecahedral rhombus)的缩写,由于小斜方截半二十面体可以看做是菱形三十面体 透过截角变换 后的像而得名,其中截半二十面体菱形(icosidodecahedral rhombus)是开普勒给予菱形三十面体 的命名[ 4] 。
菱形三十面体 透过截角变换 后的像在拓朴学上可以产生两种不同的几何形状:左边为最直接的截半 ;中间是在五阶顶点截的较深的截半,其形成了均匀多面体 ;右边的是小斜方截半二十面体与菱形三十面体 的对偶多面体 ——截半二十面体 的复合体。
正十二面体 透过扩展变换形成小斜方截半二十面体的动画。
小斜方截半二十面体是一种半正多面体 ,由三种正多边形组成,分别为正三角形面、正方形面和正五边形,每个顶点都是两个正方形、一个正三角形和一个五边形的公共顶点,在顶点图 中可计为3.4.5.4,因此具有点可递的性质。由于其可以借由正十二面体透过扩展 变换,变换而成,因此又可以称为扩展十二面体。由于此原因,小斜方截半二十面体在施莱夫利符号中可以用rr{5,3}来表示,其中,rr表示扩展变换,{5,3}表示正十二面体 ,亦可以简写为
r
{
5
3
}
{\displaystyle r{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
[ 5] 。
将一个正十二面体 (正二十面体 )三十条棱都切一刀,在二十(十二)个顶点处也切一刀,就可以得到一个小斜方截半二十面体。也可以透过将正二十面体移动到远离原点适当的距离,并且不改变面的大小,然后对偶多面体(正十二面体 )也做相同动作,并且在剩余的空隙补上正方形也可以得到小斜方截半二十面体。一可以视为截半二十面体 再次截半后的像[ 6] 。因此,小斜方截半二十面体具有与正二十面体相同数量的三角形和与正十二面体相同数量的五边形,且正方形恰好等于正二十面体 或正十二面体边的数量。
小斜方截半二十面体与小星形截角十二面体 、六复合五角星柱 以及十二复合五角星柱 共用相同的顶点布局。
小斜方截半二十面体由上而下可以分成5层,如下图所示,靠近顶面的那层可形成一个正十边形 ,特别地,由于其对称性,因此每十条棱皆可以成为一个正十边形,整个小斜方截半二十面体共有十二个独立的十边形。
小斜方截半二十面体的上下分层着色
位于笛卡尔坐标系 原点且边长为2单位长的小斜方截半二十面体,其顶点坐标 为[ 7] :
(±1, ±1, ±φ 3 ),
(±φ 2 , ±φ , ±2φ ),
(±(2+φ ), 0, ±φ 2 ),
其中,φ =
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
为黄金分割率 。
因此,这个小斜方截半二十面体的外接球半径是这些点与原点的共同距离,即
ϕ
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {\phi ^{6}+2}}}
。
而这个值的一半更为常见,计做R ,其值等于边长为1的小斜方截半二十面体之外接球半径,代入恒等式φ n +2 = φ n +1 + φ n 五次可以得到:
R =
8
ϕ
+
7
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {8\phi +7}}{2}}}
=
11
+
4
5
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}}
≈ 2.233
一个边长为a 的小斜方截半二十面体,其表面积 A 和体积 V 为:
A
=
{
30
+
30
[
10
+
3
5
+
15
(
5
+
2
5
)
]
}
a
2
≈
59.3059828
a
2
V
=
1
3
(
60
+
29
5
)
a
3
≈
41.6153238
a
3
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{30+{\sqrt {30\left[10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {15(5+2{\sqrt {5}})}}\right]}}\right\}a^{2}\\&\approx 59.3059828a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}(60+29{\sqrt {5}})a^{3}\approx 41.6153238a^{3}\\\end{aligned}}}
[ 8]
小斜方截半二十面体有两种二面角,一个为正五边形和正方形的交角,另一个为正三角形与正方形的交角[ 8] :
其中,正五边形和正方形的交角为:
arccos
(
−
10
(
5
+
5
)
10
)
≈
148.282525589
∘
{\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {\sqrt {10\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)}\approx 148.282525589^{\circ }}
[ 8]
其中,正三角形与正方形的交角为:
arccos
(
−
3
+
15
6
)
≈
159.094842552
∘
{\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{6}}\right)}\approx 159.094842552^{\circ }}
[ 8]
小斜方截半二十面体有6个特殊的正交投影,分别为于中心投影、于顶点上投影、于棱上投影(两种)和于面上投影(三种),其中“在正方形面上投影”以及“在正五边形面上投影”其对称性对应于A2 和 H2 的考克斯特平面[ 9] 。
小斜方截半二十面体也可以表示为球面镶嵌,并通过球极投影 ,投影到平面上。 这个投影是一个等角头影,虽然长度发生改变,但保留了角度信息。 球面镶嵌上的直线投影到了平面后成为了弧线。
More information 正交投影, 球极平面投影 ...
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小斜方截半二十面体可以经由正十二面体 或正二十面体 透过扩展 变换构成。
Zometool 积木组 的其中一个顶点连接零件是使用黄金比例矩形版本的小斜方截半二十面体[ 10] 。
小斜方截半二十面体是正十二面体 经过扩展 变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换 得到的多面体有:
More information [5,3]+, (532), 半正多面体对偶 ...
正二十面体家族半正多面体
对称群 : [5,3] , (*532)
[5,3]+ , (532)
{5,3}
t0,1 {5,3}
t1 {5,3}
t0,1 {3,5}
{3,5}
t0,2 {5,3}
t0,1,2 {5,3}
s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5
V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.3.3.3.3
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
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这个多面体在拓扑上与一系列顶点图为(3.4.n.4)的多面体和镶嵌相关,皆具有(*n32)的镜射对称性。
More information 扩展镶嵌对称性 *n32 的变种: 3.4.n.4, 对称性*n32 [n,3] ...
扩展镶嵌对称性 *n 32 的变种: 3.4.n .4
对称性 *n 32 [n,3]
球面镶嵌
欧氏镶嵌
紧凑双曲
仿紧双曲
*232 [2,3]
*332 [3,3]
*432 [4,3]
*532 [5,3]
*632 [6,3]
*732 [7,3]
*832 [8,3]...
*∞32 [∞,3]
图形
顶点
3.4.2.4
3.4.3.4
3.4.4.4
3.4.5.4
3.4.6.4
3.4.7.4
3.4.8.4
3.4.∞.4
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Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X . (Section 3-9)
Cromwell, P. Polyhedra . United Kingdom: Cambridge. 1997: 79 –86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2 .
The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution : features this solid as the answer to an impromptu science quiz the main four characters have in Leonard and Sheldon's apartment, and is also illustrated in Chuck Lorre 's Vanity Card #461 at the end of that episode.
Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
Harmonies Of The World by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton , A. M. Duncan , "J. V. Field, 1997, ISBN 0-87169-209-0 (page 123)