小星形截角十二面体

在几何学中，小星形截角十二面体是一种星形均匀多面体，由12个五边形和12个十角星组成^[5]，并且与截角大十二面体拓朴同构^[6]，其对偶多面体为大五角化十二面体。^[7]

提示：此条目的主题不是截角小星形十二面体。

小星形截角十二面体

类别	星形均匀多面体
对偶多面体	大五角化十二面体
识别
名称	小星形截角十二面体
参考索引	U58, C74, W97[4]
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	quit sissid
数学表示法
施莱夫利符号	${\displaystyle {\text{t}}^{\prime }{\left\{{\tfrac {5}{2}},5\right\}}}$
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 5 | 5/3[3] 2 5/4 | 5/3
性质
面	24
边	90
顶点	60
欧拉特征数	F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	12{5}+12{10/3}
顶点图	5.10/3.10/3
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	{10/3 10/3 5}[1][2]
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
5.10/3.10/3 （顶点图） 大五角化十二面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

小星形截角十二面体是一种星形均匀多面体，共有24个面、90条边和60个顶点^[2]，欧拉示性数为-6^[8]，并且具有二十面体群对称性^[9]。在小星形截角十二面体的60个顶点中每个顶点都是两个十角星和一个五边形的公共顶点，在顶点图中，其可以用{10/3, 10/3, 5}来表示^[1][10][8]，由于每个顶点对应的角都是三面角、且等角，因此小星形截角十二面体也可以算是一种等角多面体^[11]。

面的组成

小星形截角十二面体由24个面组成，在24个面中有12个面有5条边组成、另外12个面由十条边组成^[12]。而这12个由十条边组成的多边性全部都是星形多边形，即十角星^[12]。

构成小星形截角十二面体的五边形面

构成小星形截角十二面体的十角星面

构成小星形截角十二面体的面在顶点周围的排布

二面角

小星形截角十二面体有两种棱，一种是2个十角星的公共棱，其对应的二面角角度约为116.56度、另一种是十角星和五边形的公共棱，其对应的二面角角度约为63.42度^[13]。

小星形截角十二面体中，2个十角星的公共棱对应到的二面角角度为五分之负的五的平方根之反余弦值^[13]，其等价于负的五的平方根的倒数之反余弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 2.03444394\approx 116.565051^{\circ }}$

小星形截角十二面体中，十角星和五边形的公共棱对应到的二面角角度为五分之五的平方根之反余弦值^[13]，其等价于正五的平方根的倒数之反余弦值^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 1.10714872\approx 63.4349488^{\circ }}$

历史

最早列出小星形截角十二面体的文献是在考克斯特、朗格·希金斯与米勒的论文《均匀多面体》中^[14]，其中列出了非常多的均匀多面体。后来在1993年时，齐夫·哈尔提出了一个能计算生成各均匀多面体的算法，使得小星形截角十二面体能更容易地被视觉化。^[8]

相关多面体

若将小星形截角十二面体视为一个抽象多面体，则其与截角大十二面体视为抽象多面体的结果等价^[6]。另一种与小星形截角十二面体相关的多面体为皮特里扩展小星形截角十二面体，是由小星形截角十二面体经过皮特里扩展变换所形成的像，其共有114个面、300条边和180个顶点。^[15]

此外，小星形截角十二面体与截角大十二面体拓朴同构：小星形截角十二面体可以透过将五边形面拓朴变形成五角星面同时也将十角星面拓朴变形成十边形面使立体转变成截角大十二面体。^[16]

小星形截角十二面体与小斜方截半二十面体共用相同的顶点排布。^[6]其他也与小星形截角十二面体共用相同的顶点排布的立体有小十二面截半二十面体^[17]、小斜方十二面体^[18]。

小斜方截半二十面体	小十二面截半二十面体	小斜方十二面体
小星形截角十二面体	六复合五角星柱（英语：Compound of six pentagrammic prisms）	十二复合五角星柱（英语：Compound of twelve pentagrammic prisms）

参见

• 均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）

参考文献

1. Roman E. Maeder. 58: small stellated truncated dodecahedron. Math Consult AG. 1995 [2019-09-27]. （原始内容存档于2018-05-02）.
2. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
3. George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2019-09-27]. （原始内容存档于2018-09-19）.
4. Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary. [2019-09-27]. （原始内容存档于2019-07-03）.
5. Andrew Weimholt. 18. Quit Sissid, Polyhedron Category 2: Truncates. polytope.net. [2019-10-05]. （原始内容存档于2018-07-02）.
6. Richard Klitzing. small stellated truncated dodecahedron. bendwavy.org. [2019-09-27]. （原始内容存档于2019-09-27）.
7. Weisstein, Eric W. (编). Small Stellated Truncated Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
8. Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra (PDF). Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57––110 [2019-09-27]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-19）.
9. Sam Gratrix. small stellated truncated dodecahedron. [2019-10-05]. （原始内容存档于2008-12-04）.
10. Raffi J. Kasparian. Introducing the Kasparian Solids. quantimegroup.com. [2019-09-27]. （原始内容存档于2018-08-31）.
11. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, 49: 47–172.
12. V. Bulatov. small stellated truncated dodecahedronn. bulatov.org. 2009 [2019-10-05]. （原始内容存档于2017-10-11）.
13. David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Small Stellated Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. 2015 [2019-10-05]. （原始内容存档于2018-04-20）.
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. Uniform polyhedra (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 1954, 246 (916): 401–450 [2019-09-27]. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. （原始内容存档 (PDF)于2017-12-01）.
15. Jim McNeill. Petrie Expanded Truncated Polyhedra. orchidpalms.com. [2019-09-27]. （原始内容存档于2018-09-25）.
16. Dr. Richard Klitzing. tigid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-10-05]. （原始内容存档于2019-09-27）.
17. Richard Klitzing. small dodekicosidodecahedron. bendwavy.org. [2019-10-30]. （原始内容存档于2019-10-30）.
18. Richard Klitzing. small rhombidodecahedron. bendwavy.org. [2019-10-30]. （原始内容存档于2019-10-30）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 小星形截角十二面體. MathWorld.