截角立方体

在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，具有14个面、24个顶点以及36条边。是一种阿基米德立体^[1]，属于半正多面体。其对偶多面体为三角化八面体。

截角立方体

(按这里观看旋转模型)
类别	半正多面体
对偶多面体	三角化八面体
识别
名称	截角立方体
参考索引	U09, C21, W8
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tic
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t{4,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 3 | 4
康威表示法	tC
性质
面	14
边	36
顶点	24
欧拉特征数	F=14, E=36, V=24 （χ=2）
组成与布局
面的种类	正三角形 正八边形
面的布局 （英语：Face configuration）	8个{3} 6个{8}
顶点图	3.8.8
对称性
对称群	Oh群
特性
-
图像
3.8.8 （顶点图） 三角化八面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

性质

截角立方体是一种适当截角的立方体。截角时确定了截面的边与没截到的长度等长，因此会形成正八边形。过度截角到最后会变成截半立方体。

截角立方体的对偶多面体是三角化八面体，若截角立方体的边长是2，则其对偶的边常会变成${\displaystyle \scriptstyle {2+{\sqrt {2}}}}$单位长。

座标

一个边长为2ξ、几何中心位于原点的截角立方体，其顶点座标为：

(±ξ, ±1, ±1),

(±1, ±ξ, ±1),

(±1, ±1, ±ξ)

其中 ξ = ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {2}}-1}}$。

参数ξ的值可以在±1之间变化。值为1时产生一个立方体、值为0时是截半立方体，负值会变成自我相交的八角星面。

体积与表面积

截角立方体的表面积为${\displaystyle 2(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}}$，体积为${\displaystyle {\frac {1}{3}}(21+14{\sqrt {2}})a^{3}}$，其中${\displaystyle a}$是该截半立方体的边长^[2]。

表面积 = ${\displaystyle A=2(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 32.4346644a^{2}}$

体积 = ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}(21+14{\sqrt {2}})a^{3}\approx 13.5996633a^{3}}$

作法

将立方体进行截角操作，也就是将立方体的八个顶点切去并在被切掉的地方建立八个正三角形面即可得到一个截角立方体。

正交投影

截角立方体具有五个特殊正交投影，可分为三大类：以顶点为中心、以边缘为中心（棱）、以及以面为中心。以顶点为中心仅有一种，以边缘（棱）为中心有两种：以三角形-八边形边为中心和以八边形-八边形边为中心；以面为中心也是两种：以三角形面为中心以及以八边形面为中心。最后两个对应B₂和A₂考克斯特平面。

截角立方体的正交投影

建立方式	顶点	边 3-8	边 8-8	面 八边形	面 三角形
截角立方体
三角化八面体 （对偶多面体）
投影 对称性	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

球面镶嵌

	以正八边形为中心	以正三角形为中心
平行投影	施莱格尔投影（英语：Schlegel diagram）

分解

一个被分解的截角立方体

截角立方体可以分割成一个中央立方体、周围六个四角帐塔跟角落八个正四面体。这种结构也可以在大斜方截半立方体堆砌中发现，其具有立方体、正四面体以及小斜方截半立方体的胞。

这种分解方式去除两个四角帐塔和中间的立方体可以用来构造斯图尔特环形所有正的面，这种“被挖空的”立方体有16个三角形，正方形12，和4个八边形^[3][4]。

顶点排布

共有三种多面体与截角立方体有着相同的顶点排布。他们分别为：

截角立方体

非凸大斜方截半立方体

大立方立方八面体

大斜方立方体

相关多面体及镶嵌

截角立方体是立方体经过截角变换后的结果，与立方体相关的多面体还有：

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

变异对称

此多面体的拓扑结构属于考克斯特对称群[n,3]构成的一系列顶点配置为(3.2n.2n)和n.8.8的均匀截角多面体和镶嵌家族的一部分。

截角立方体的面组成方式是一个正八边形与正三角形交错组成。同样由正多边形与正三角形交错组成的多面体或镶嵌图包括：

*n32变异对称性的截角镶嵌（英语：Template:Truncated figure1 table）: 3.2n.2n

对称性 *n32 [n,3]	球面镶嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）				欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	紧凑双曲		非紧双曲
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
截角镶嵌
顶点（英语：Vertex configuration）	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14（英语：Truncated_heptagonal_tiling）	3.16.16（英语：Truncated octagonal tiling）	3.∞.∞（英语：Truncated order-3 apeirogonal tiling）
三角化 镶嵌
顶点（英语：Vertex configuration）	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14（英语：Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.16.16（英语：Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.∞.∞（英语：Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling）

如上所述，截角立方体的面组成方式是一个正八边形与正三角形交错组成。另外一种就是视为正八边形与其他正多边形交错组成。具有此性质的多面体或镶嵌图包括：

*n42变异对称性的截角镶嵌: n.8.8

对称性 *n42（英语：Orbifold notation） [n,4]	球面镶嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）		欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	紧凑双曲镶嵌				仿紧双曲镶嵌
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
截角 图
顶点（英语：Vertex configuration）	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8（英语：Truncated order-5 square tiling）	6.8.8（英语：Truncated order-6 square tiling）	7.8.8（英语：Truncated order-7 square tiling）	8.8.8	∞.8.8（英语：Truncated infinite-order square tiling）
n-角化 图
顶点（英语：Vertex configuration）	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

交错截角

截角立方体是将立方体每一个顶点切去，而立方体具有偶数个顶点（8个），且每个面的角数量也是偶数个（正方形有四个角）因此可以进行交错截角。交错截角立方体是一个倒角四面体。

多胞体

截角立方体是截角超方形家族中的第二个成员，相关的多胞体包括：

截角超方形

							...
截角正方形	截角立方体	截角超立方体	截角五维超正方体	截角六维超正方体（英语：Truncated 6-cube）	截角七维超正方体（英语：Truncated 7-cube）	截角八维超正方体（英语：Truncated 8-cube）

参见

• 立方体
• 截半立方体
• 广义截角立方体

参考文献

1. Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
2. Weisstein, Eric W. (编), Truncated cube, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英语）
3. B. M. Stewart, Adventures Among the Toroids (1970) ISBN 978-0-686-11936-4
4. 存档副本. [2016-01-29]. （原始内容存档于2016-02-04）.

• Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 截角立方体 （参阅阿基米德立体） 于MathWorld（英文）
  • 埃里克·韦斯坦因. Truncated cubical graph. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4x - tic. bendwavy.org.
• Editable printable net of a truncated cube with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
  • VRML model （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • Conway Notation for Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） Try: "tC"