Broj

Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina. Bez brojeva ne bi bilo matematike.

Ukoliko ste tražili istoimenu vrstu reči, vidite članak brojevi.

Podskup kompleksnih brojeva.

Broj je jedan od osnovnih pojmova matematike. U svakodnevnoj komunikaciji je pojam broja intuitivno poznat, dok matematičari radije primenjuju neki od formalizama za predstavljanje i opisivanje ovog pojma. U tom smislu se primenjuje teorija skupova, a broj služi da opiše osobinu mnoštva skupa.

Broj je matematički objekat koji se koristi za brojanje, merenje, i označavanje. Originalni primeri su prirodan brojevi 1, 2, 3, 4 i tako dalje.^[1] Notacioni simbol koji predstavlja broj se naziva cifra.^[2] Osim njihove upotrebe u brojanju i merenju, brojevi se često koriste za obeležavanje (kao u telefonskim brojevima), za uređivanje (npr. serijski brojevi), i kao kodovi (npr. kodovi). U uobičajenoj upotrebi, broj se može odnositi na simbol, reč, ili matematičku apstrakciju.

U matematici, pojam broja je proširen tokom vekova tako da obuhvata 0,^[3] negativne brojeve,^[4] racionalne brojeve kao što su ¹⁄₂ i −²⁄₃, realne brojeve^[5] kao što su √2 i π, i kompleksne brojeve,^[6] kojima se proširuje skup realnih brojeva tako da obuhvata kvadratni koren od −1.^[4] Kalkulacije sa brojevima se vrše koristeći aritmetičke operacije, među kojima su najpoznatije sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, i stepenovanje. Naučna oblast koja se bavi izučavanjem brojeva se zove aritmetika. Isti termin se takođe može odnositi na teoriju brojeva, izučavanje svojstava brojeva.

Osim njihove praktične primene, brojevi imaju kulturni značaj širom sveta.^[7][8] Na primer, u zapadnom društvu, broj 13 se smatra nesrećnim, i „milion” može da znači „puno”.^[7] Numerologija, verovanje u mistični značaj brojeva.^[9][10] Mada se ona smatra pseudonaukom, ona je prožimala drevnu i srednjovekovnu misao.^[11] Numerologija je znatno uticala na razvoj Grčke matematike^[12][13] i stimulisala istraživanje mnogih problema u teoriji brojeva, neki od kojih su od interesa u današnje vreme.^[11]

Tokom 19. veka, matematičari su počeli da razvijaju mnoštvo različitih apstrakcija kojima su zajednička pojedina svojstva brojeva i koje se mogu smatrati produžetkom koncepta. Među prvima su bili hiperkompleksni brojevi,^[14][15][16] koji se sastoje od raznih proširenja ili modifikacija kompleksnog brojnog sistema. U današnje vreme, brojni sistemi se smatraju važnim specijalnim primerima znatno opštijih kategorija kao što su prsteni i polja, i primena termina „broj” je stvar konvencije, bez fundamentalnog značaja.^[17]

Vrste brojeva

Vrste brojeva su:

1. prirodni {1,2,3,...}
2. cijeli {0,1,-1,2,-2,...}
3. racionalni = cijeli + razlomci
4. iracionalni (oni koje ne možemo predstaviti u obliku razlomaka)
5. realni = racionalni + iracionalni
6. kompleksni = realni + imaginarni

Uz pojam broja usko su vezani pojmovi brojčanog sustava i brojaka (znamenaka).
Danas se u pisanoj ljudskoj komunikaciji uglavnom koriste arapske brojke, a osim njih ponegdje se nađu (npr. na kraju filmova za označavanje godine proizvodnje) rimske brojke.

Cifre

Glavni članak: Brojevni sistem

Brojeve treba razlikovati od cifara, simbola koji se koriste za predstavljanje brojeva. Egipćani su izumeli prvi cifarski numerički sistem, i Grci su sledili mapirajući njigove cifre u jonski i dorski alfabet.^[18] Rimske cifre, sistem koji je koristio kombinaciju slova iz rimskog alfabeta, ostao je dominantan u Evropo do širenja superiornog arapskog cifarskog sistema u kasnom 14. veku, i arapski numerički sistem je zadržao status najzastupljenijeg sistema za predstavljanje brojeva u svetu u današnje vreme.^[19] Ključ efektivnosti sistema je bio simbol za nulu, koji su razvili drevni matematičari na Indijskom potkontinentu oko 500. godine.^[19]

U matematici

Broj je jedan od pojmova na kojima se zasniva matematika, nastao iz potrebe za brojanjem predmeta, a zatim se usavršavao srazmerno razvoju matematičkih znanja. Već u radovima antičkih naučnika bilo je ustanovljeno da je niz prirodnih brojeva beskonačan (3. vek p. n. e.). Problemi beskonačnosti prirodnog niza, niza prostih brojeva i formiranje naziva za proizvoljno velike brojeve razmatrani su u znamenitom delu Euklida "Elementi" i u knjizi Arhimeda "O izračunavanju peska" ("Psammit").

Sa uvođenjem pojma sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, počinje da se razvija nauka o brojevima i operacijama nad njima - aritmetika.^[20] Izučavanje dubokih zakonitosti u prirodnom nizu brojeva traje i danas i čini teoriju brojeva. Prirodan broj se činio toliko jednostavan „prirodan“ da ga nauka dugo nije pokušavala definisati. Takva objašnjenja su se pojavila tek sredinom XIX veka prilikom razvoja aksiomatske metode u matematici i razvojem matematičke analize. To je učinjeno 70-oh godina 19. veka u radovima nemačkog matematičara Kantora na osnovu pojma skupova i njihove jednake moći, nazvane i kardinalni broj skupa, tj. upoređivanjem elemenata jednog skupa sa elementima drugog skupa. Broj predmeta i broj elemenata u skupu definišu se kao ono zajedničko što ima data ukupnost, kao i svaka druga, njoj jednako moćna. Drugi pojam prirodnog broja dao je italijanski matematičar Peano na osnovu aksioma.

Prvo poopštenje prirodnih brojeva bili su racionalni brojevi, razlomci, nastali sa potrebom da se izmeri neka veličina, upoređena sa nekom drugom veličinom - etalonom. Sva kasnija proširenja pojma broja nisu nastala na potrebama računanja i merenja, već su bila posledica razvoja nauke.

Prvo od njih bilo je uvođenje negativnih brojeva, uslovljeno razvojem algebre.^[21] U Evropu je negativne brojeve uveo u upotrebu u 17. veku francuski filozof Dekart. Zatim su uvedeni iracionalni brojevi.^[22] Izučavanje pojma neprekidnosti u radovima nemačkih matematičara Dedekinda i Kantora, zatim Vajerštrasa dovelo je do daljeg razjašnjavanja pojma broja i njegovih osobina. Razvojem teorije algebarskih jednačina (19. vek) pojavio se pojam kompleksnog broja.

Kompleksni brojevi obrazuju polje. I, prema Vajerštrasu, ukupnost svih kompleksnih brojeva ne može biti dalje proširena na račun pripajanja novih brojeva, na način da u proširenoj ukupnosti budu sačuvani svi zakoni operacija koji važe u ukupnosti kompleksnih brojeva.

Istorijat

Postoji verovanje (Kit Devlin, Matematički gen, Plato, Beograd, 2001) da je čovek počeo razmišljati apstraktno kada je počeo komunicirati, i kada je postao socijalno biće. Jezik je prvobitnim ljudima dao prednost nad okolinom u borbi za opstanak, sa kojim je došao veći mozak homosapiensa i sposobnost da razmišlja apstraktno. Sa takvim tumačenjem evolucije dolazi se do jednog objašnjenja naše zagonetne sposobnosti da se nosimo sa ubrzanim razvojem matematike tokom poslednjih par milenijuma.^[23]

Počeci

Naše prvobitne predstave o broju i obliku pripadaju veoma dalekoj epohi starog kamenog doba - paleolitu.^[24] Tokom stotina hiljada godina ljudi su živeli u pećinama, u uslovima koji su se malo razlikovali od onih u kojima žive životinje. Čovek je svoju energiju trošio prvenstveno na pribavljanje hrane. Ljudi su izgrađivali jezik radi međusobnog opštenja, izrađivali su oruđa za lov i ribolov, a u epohi kasnijeg paleolita ukrašavali su svoja prebivališta i stvarali umetnička dela, statuete i crteže. Moguće je da su crteži u pećinama u Francuskoj i Španiji, pre otprilike 15 hiljada godina, imali ritualno obeležje, ali nesumnjivo je da se u njima otkriva i izvanredan osećaj za oblik.

Preokret, kada je pasivni čovek sa prostog sakupljanja hrane prešao na aktivnu proizvodnju hrane i od lova i ribolova prešao na zemljoradnju, predstavlja početak novog kamenog doba - neolita. Taj krupan događaj u istoriji čovečanstva odigrao se pre otprilike deset hiljada godina, u vreme kada se ledeni pokrivač u Evropi i Aziji počeo topiti i ustupati mesto šumama i pustinjama. Otkopano je dosta neolitskih naselja. Ti zemljoradnici ostajali bi na jednom mestu sve dok bi zemlja bila rodna i gradili domove. Postepeno su se razvijali jednostavniji zanati, grnčarski, tkalački, drvodeljski, pekli su hleb i kuvali pivo, a u epohi kasnijeg neolita topili su i obrađivali bakar i bronzu. Pojavila su se otkrića, grnčarskog kruga, kolskog točka, čamaca, ali lokalno i neravnomerno. Na primer, američki Indijanci su saznali za kolski točak tek kada su došli belci. Trgovina između pojedinih naselja se veoma razvila. Sve to je uticalo na dalje formiranje jezika. Reči tadašnjih jezika izražavale su potpuno konkretne stvari, i veoma malo apstraktne pojmove. Ipak, bilo je reči za jednostavnije numeričke pojmove i jednostavnije oblike.

Numerički termini, koji izražavaju neke od „najapstraktnijih pojmova koje je u stanju da stvori ljudski um“, kako je rekao Adam Smit, sporo su ulazili u upotrebu.

Primeri iz nekih plemena

U početku apstraktni pojmovi se javljaju više kao kvalitativni nego kao kvantitativni termini, npr. neki čovek, umesto jedan čovek. Taj stari kvalitativni način dolazi do izražaja i sada u onim posebnim dvojnim terminima nekih jezika, recimo grčkog i keltskog. Veći brojevi (od jedan) obrazovani su sabiranjem: 3 - sabiranjem 2 i 1, 4 - sabiranjem 2 i 2, 5 - sabiranjem 2 i 3. Evo primera iz nekih australijskih plemena:

Pleme na reci Murej

1=enea, 2=petčeval, 3=petčeval-enea, 4=petčeval-petčeval.

Kamilaroi

1=mal, 2=bulan, 3=guliba, 4=bulan-bulan, 5=bulan-guliba, 6=guliba-guliba

(W. C. Eels: Number Systems of North American Indians, Amer. Mth. Monthly, sveska 20 (1913). str. 263–273, 293-299, pos. 293.).

Razvitak zanatstva i trgovine pomogao je kristalizaciji pojma broja. Brojevi su grupisani i objedinjavani, obično korištenjem prstiju jedne ili obe ruke. To je u početku dovodilo do računa sa osnovom pet, zatim sa osnovom deset, i ređe sa osnovom dvadeset. Od 307 brojnih sistema prvobitnih američkih naroda koje je proučavao Ils (W. C. Eels), 146 su bili desetični, 106 petični, petično-desetični, dvadesetični i petično-dvadesetični. Najkarakterističniji oblik sistema sa osnovom dvadeset postojao je kod Maja u Meksiku i kod Kelta u Evropi.

Brojevi su zapisivani pomoću snopova, zareza na štapovima, čvorova na konopcima, kamenčića ili školjaka složenih po pet na gomilu. Najstariji primer korišćenja raboša (komad drveta na kojem su nepismeni urezivali brojke i druge znake) pripada epohi paleolita. U Vestonici (Moravska) otkrivena je 1937. žbica mladog vuka, dužine oko 17 cm, sa 55 dubokih zareza. Prvih dvadeset pet zareza raspoređeni su u grupe po pet, zatim sledi zarez dvostruke dužine kojim se završava taj red, a zatim novim zarezom dvostruke dužine počinje novi red zareza (Illustrated London News, Oct. 2. 1957. - Isis, sveska 28 (1938). str. 462–463.).

Dakle, račun nije nastao iz računanja na prstima, kako se ranije tumačilo, na primer kod Jakoba Grima. Računanje prstima, peticama i deseticama, pojavilo se tek na izvesnom stepenu društvenog razvitka. Međutim, kada je došlo do toga, postalo je moguće izražavanje brojevnim sistemima, čime je omogućeno formiranje većih brojeva. Tako je nastajao primitivan tip aritmetike.

Četrnaest je izražavano kao 10+4, a ponekad kao 15-1. Množenje je nastalo kada se 20 počelo izražavati ne kao 10+10, nego kao 2x10. Takve binarne operacije primenjivane su tokom više hiljada godina i predstavljale su neku sredinu između sabiranja i množenja, a posebno su korišćene u Egiptu^[25] i u doarijskoj kulturi Mohendžo-Daro na Indu. Deljenje je nastalo tako što se 10 počelo izražavati kao „polovina tela“, dok je primena razlomaka bila veoma retka pojava (sem u Egiptu). Na primer, u severnoameričkim plemenima je poznat samo mali broj slučajeva primene razlomaka, i po pravilu je to razlomak 1/2, mada se ponekad nailazi i na 1/3 i 1/4. (Miler (G. A. Miler) je skrenuo pažnju na to da reči , , , što na engleskom, latinskom i francuskom jeziku znači polovina, nisu u direktnoj vezi sa rečima tih istih jezika koje znače dva (). Slično je sa srpskim jezikom. To ukazuje na činjenicu da je pojam 1/2 nastao nezavisno od pojma celog broja. Videti Nat. Math. Magazine 13 (1939), 272.)

Na engleskom je Dirk J. Strojk izložio nastanak i razvitak računa uopšte, a posebno brojnih sistema i u vezi sa tim razvitak pojma prirodnog broja (v. Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics, Dover Publications, Inc. New York, 1966). Na ruskom jeziku, u to vreme, isti krug problema je veoma iscrpno i kompaktno obrađen u članku I. G. Bašmakove i A. P. Juškeviča. Pregled istorijskog razvitka realnog broja na srpskohrvatskom jeziku dat je u knjizi Milenka Nikolića, Istorijska i naučna evolucija realnog broja i njen pedagoški tretman, kao i u popularnoj knjizi Ivana Bandića, Kako se nekad brojalo i računalo.

Geometrija grnčarije

Na slikama 1-4, desno, nalaze se primerci interesantnih geometrijskih oblika na grnčariji, tkaninama i pletarskim proizvodima:

• sl.1. neolitska grnčarija u Bosni i na umetničkim predmetima iz Mesopotamije iz perioda Ur

(W. Lietzmann: Geometrie und Praehistorie, sv. 20 (1933). str. 436–493));

• sl.2. egipatska grnčarija iz preddinastijskog perioda (4000—3500. godine pre nove ere)

(D. E. Smith: History of Mathematics (Boston, 1923), sv. 1. str. 15 (Dover izd, 2 sv, 1958));

• sl.3. motiv iz sojenica kod Ljubljane (Slovenija) u vreme halštatskog perioda (srednja Evropa, 1000—500. godine pre nove ere) (v. M. Hoernes: Urgeschichte der bildenden Kunst in Europa (Wien, 1915));
• sl.4. četvorouglovi u kojima se nalaze trouglovi, a u ovima krugovi. Nađeni su na urnama iz grobova u Mađarskoj. Predstavljaju pokušaj formiranja trouglastih brojeva koji su imali važnu ulogu u pitagorejskoj matematici kasnijeg perioda ^[26]

Povezano

• Sve stranice koje počinju s(a) "Broj"
• Sve stranice s naslovom koji sadrži "Broj"
• Sve stranice s naslovom koji sadrži "Brojevi"
• Sve stranice s naslovom koji sadrži "Brojke"

Reference

1. „number, n.” (en-GB). OED Online (Oxford University Press).
2. „numeral, adj. and n.”. OED Online (Oxford University Press).
3. Matson, John. „The Origin of Zero” (en). Scientific American. Pristupljeno 16. 5. 2017.
4. Hodgkin 2005: str. 85–88
5. T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ur. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, pp. 410–1, ISBN 978-1-4020-0260-1
6. Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, ISBN 978-0-486-60068-0, pristupljeno 20. 4. 2011
7. Gilsdorf, Thomas E. Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas, John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.
8. Restivo, S. Mathematics in Society and History, Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.
9. "Numerology, n.". OED Online. September 2012. Oxford University Press. http://oed.com/view/Entry/129129?redirectedFrom=numerology& (accessed November 23, 2012).
10. Holcombe, A.D. (1. 1. 1997.). „Biblical Numerology Confirms the Spiritual Validity of Its Contents”. Journal of Religion & Psychical Research.
11. Ore, Oystein. Number Theory and Its History, Courier Dover Publications.
12. Heath. A Manual of Greek Mathematics. str. 5.
13. Boyer, C.B. , A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley. 1991. ISBN 978-0-471-09763-1. pp.
14. Daniel Alfsmann On families of 2^N dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing Arhivirano 2011-07-16 na Wayback Machine-u, 14th European Signal Processing Conference, Florence, Italy.
15. Emil Artin (1928) "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen" and "Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", in The Collected Papers of Emil Artin, Serge Lang and John T. Tate editors. str. 301–45, Addison-Wesley, 1965.
16. Baez, John (2002), „The Octonions”, Bulletin of the American Mathematical Society 39: 145–205, DOI:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN 0002-9904, arhivirano iz originala na datum 21. 4. 2009, pristupljeno 27. 10. 2017
17. Gouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics". Princeton University Press, September 28, 2008. 2006. ISBN 978-0691118802. pp. 82
18. Chrisomalis, Stephen (1. 9. 2003.). „The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals”. Antiquity 77 (297): 485–496. DOI:10.1017/S0003598X00092541. ISSN 0003-598X.
19. Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1. Cengage Learning. str. 192. ISBN 978-1-4390-8474-8. »Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today«
20. Hodgkin 2005
21. Staszkow & Bradshaw 2004: str. 41 sfn error: no target: CITEREFStaszkowBradshaw2004 (help)
22. Selin, Helaine, ur. (2000). Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics. Kluwer Academic Publishers. str. 451. ISBN 978-0-7923-6481-8.
23. Smith 1958 sfn error: no target: CITEREFSmith1958 (help)
24. Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.
25. „Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora”. Math.buffalo.edu. Pristupljeno 30. 1. 2012.
26. Boas & Benedict 1938: str. 273

Literatura

• Hodgkin, Luke (2005). „Greeks and origins”. A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852937-8.
• Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1. Cengage Learning. str. 192. ISBN 978-1-4390-8474-8. »Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today«
• Heath. A Manual of Greek Mathematics. str. 5.
• Boas, Franz; Benedict, Ruth (1938). General Anthropology. Heath; reprinted [by] Johnson Reprint Corporation, New York. str. 273.
• Dr. Miloš S. Moskovljević, REČNIK SAVREMENOG SRPSKOG JEZIKA S JEZIČKIM SAVETNIKOM, Gutembergova Galaksija, Beograd, 2000.

1. Prof. V. A. Ditkin, REČNIK MATEMATIČKIH TERMINA SA TUMAČENjIMA, (prevod sa ruskog, Moskva, 1965), Naučna knjiga, Beograd, 1969.

• Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan company, 1930.
• Erich Friedman, What's special about this number? Arhivirano 2018-02-23 na Wayback Machine-u
• Steven Galovich. Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 23 January. 1989. ISBN 978-0-15-543468-4. pp.
• Halmos, Paul (1974). Naive Set Theory. Springer. ISBN 978-0-387-90092-6.
• Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press..
• Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910.
• George I. Sanchez, Arithmetic in Maya, Austin-Texas, 1961.

Vanjske veze

Broj na Wikimedijinoj ostavi

• Nauka 50: Broj (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)
• Nechaev, V.I. (2001), „Number”, Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Tallant, Jonathan. „Do Numbers Exist?”. Numberphile. Brady Haran. Arhivirano iz originala na datum 8. 3. 2016. Pristupljeno 27. 10. 2017.
• „What's the World's Favorite Number?”. 22. 6. 2011.. Pristupljeno 17. 9. 2011.; „Cuddling With 9, Smooching With 8, Winking At 7”. 11. 8. 2011.. Pristupljeno 17. 9. 2011.