From Wikipedia, the free encyclopedia
Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina. Bez brojeva ne bi bilo matematike.
Ukoliko ste tražili istoimenu vrstu reči, vidite članak brojevi.
Broj je jedan od osnovnih pojmova matematike. U svakodnevnoj komunikaciji je pojam broja intuitivno poznat, dok matematičari radije primenjuju neki od formalizama za predstavljanje i opisivanje ovog pojma. U tom smislu se primenjuje teorija skupova, a broj služi da opiše osobinu mnoštva skupa.
Broj je matematički objekat koji se koristi za brojanje, merenje, i označavanje. Originalni primeri su prirodan brojevi 1, 2, 3, 4 i tako dalje.[1] Notacioni simbol koji predstavlja broj se naziva cifra.[2] Osim njihove upotrebe u brojanju i merenju, brojevi se često koriste za obeležavanje (kao u telefonskim brojevima), za uređivanje (npr. serijski brojevi), i kao kodovi (npr. kodovi). U uobičajenoj upotrebi, broj se može odnositi na simbol, reč, ili matematičku apstrakciju.
U matematici, pojam broja je proširen tokom vekova tako da obuhvata 0,[3] negativne brojeve,[4] racionalne brojeve kao što su 1⁄2 i −2⁄3, realne brojeve[5] kao što su √2 i π, i kompleksne brojeve,[6] kojima se proširuje skup realnih brojeva tako da obuhvata kvadratni koren od −1.[4] Kalkulacije sa brojevima se vrše koristeći aritmetičke operacije, među kojima su najpoznatije sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, i stepenovanje. Naučna oblast koja se bavi izučavanjem brojeva se zove aritmetika. Isti termin se takođe može odnositi na teoriju brojeva, izučavanje svojstava brojeva.
Osim njihove praktične primene, brojevi imaju kulturni značaj širom sveta.[7][8] Na primer, u zapadnom društvu, broj 13 se smatra nesrećnim, i „milion” može da znači „puno”.[7] Numerologija, verovanje u mistični značaj brojeva.[9][10] Mada se ona smatra pseudonaukom, ona je prožimala drevnu i srednjovekovnu misao.[11] Numerologija je znatno uticala na razvoj Grčke matematike[12][13] i stimulisala istraživanje mnogih problema u teoriji brojeva, neki od kojih su od interesa u današnje vreme.[11]
Tokom 19. veka, matematičari su počeli da razvijaju mnoštvo različitih apstrakcija kojima su zajednička pojedina svojstva brojeva i koje se mogu smatrati produžetkom koncepta. Među prvima su bili hiperkompleksni brojevi,[14][15][16] koji se sastoje od raznih proširenja ili modifikacija kompleksnog brojnog sistema. U današnje vreme, brojni sistemi se smatraju važnim specijalnim primerima znatno opštijih kategorija kao što su prsteni i polja, i primena termina „broj” je stvar konvencije, bez fundamentalnog značaja.[17]
Vrste brojeva su:
Uz pojam broja usko su vezani pojmovi brojčanog sustava i brojaka (znamenaka).
Danas se u pisanoj ljudskoj komunikaciji uglavnom koriste arapske brojke, a osim njih ponegdje se nađu (npr. na kraju filmova za označavanje godine proizvodnje) rimske brojke.
Brojeve treba razlikovati od cifara, simbola koji se koriste za predstavljanje brojeva. Egipćani su izumeli prvi cifarski numerički sistem, i Grci su sledili mapirajući njigove cifre u jonski i dorski alfabet.[18] Rimske cifre, sistem koji je koristio kombinaciju slova iz rimskog alfabeta, ostao je dominantan u Evropo do širenja superiornog arapskog cifarskog sistema u kasnom 14. veku, i arapski numerički sistem je zadržao status najzastupljenijeg sistema za predstavljanje brojeva u svetu u današnje vreme.[19] Ključ efektivnosti sistema je bio simbol za nulu, koji su razvili drevni matematičari na Indijskom potkontinentu oko 500. godine.[19]
Broj je jedan od pojmova na kojima se zasniva matematika, nastao iz potrebe za brojanjem predmeta, a zatim se usavršavao srazmerno razvoju matematičkih znanja. Već u radovima antičkih naučnika bilo je ustanovljeno da je niz prirodnih brojeva beskonačan (3. vek p. n. e.). Problemi beskonačnosti prirodnog niza, niza prostih brojeva i formiranje naziva za proizvoljno velike brojeve razmatrani su u znamenitom delu Euklida "Elementi" i u knjizi Arhimeda "O izračunavanju peska" ("Psammit").
Sa uvođenjem pojma sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, počinje da se razvija nauka o brojevima i operacijama nad njima - aritmetika.[20] Izučavanje dubokih zakonitosti u prirodnom nizu brojeva traje i danas i čini teoriju brojeva. Prirodan broj se činio toliko jednostavan „prirodan“ da ga nauka dugo nije pokušavala definisati. Takva objašnjenja su se pojavila tek sredinom XIX veka prilikom razvoja aksiomatske metode u matematici i razvojem matematičke analize. To je učinjeno 70-oh godina 19. veka u radovima nemačkog matematičara Kantora na osnovu pojma skupova i njihove jednake moći, nazvane i kardinalni broj skupa, tj. upoređivanjem elemenata jednog skupa sa elementima drugog skupa. Broj predmeta i broj elemenata u skupu definišu se kao ono zajedničko što ima data ukupnost, kao i svaka druga, njoj jednako moćna. Drugi pojam prirodnog broja dao je italijanski matematičar Peano na osnovu aksioma.
Prvo poopštenje prirodnih brojeva bili su racionalni brojevi, razlomci, nastali sa potrebom da se izmeri neka veličina, upoređena sa nekom drugom veličinom - etalonom. Sva kasnija proširenja pojma broja nisu nastala na potrebama računanja i merenja, već su bila posledica razvoja nauke.
Prvo od njih bilo je uvođenje negativnih brojeva, uslovljeno razvojem algebre.[21] U Evropu je negativne brojeve uveo u upotrebu u 17. veku francuski filozof Dekart. Zatim su uvedeni iracionalni brojevi.[22] Izučavanje pojma neprekidnosti u radovima nemačkih matematičara Dedekinda i Kantora, zatim Vajerštrasa dovelo je do daljeg razjašnjavanja pojma broja i njegovih osobina. Razvojem teorije algebarskih jednačina (19. vek) pojavio se pojam kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi obrazuju polje. I, prema Vajerštrasu, ukupnost svih kompleksnih brojeva ne može biti dalje proširena na račun pripajanja novih brojeva, na način da u proširenoj ukupnosti budu sačuvani svi zakoni operacija koji važe u ukupnosti kompleksnih brojeva.
Postoji verovanje (Kit Devlin, Matematički gen, Plato, Beograd, 2001) da je čovek počeo razmišljati apstraktno kada je počeo komunicirati, i kada je postao socijalno biće. Jezik je prvobitnim ljudima dao prednost nad okolinom u borbi za opstanak, sa kojim je došao veći mozak homosapiensa i sposobnost da razmišlja apstraktno. Sa takvim tumačenjem evolucije dolazi se do jednog objašnjenja naše zagonetne sposobnosti da se nosimo sa ubrzanim razvojem matematike tokom poslednjih par milenijuma.[23]
Naše prvobitne predstave o broju i obliku pripadaju veoma dalekoj epohi starog kamenog doba - paleolitu.[24] Tokom stotina hiljada godina ljudi su živeli u pećinama, u uslovima koji su se malo razlikovali od onih u kojima žive životinje. Čovek je svoju energiju trošio prvenstveno na pribavljanje hrane. Ljudi su izgrađivali jezik radi međusobnog opštenja, izrađivali su oruđa za lov i ribolov, a u epohi kasnijeg paleolita ukrašavali su svoja prebivališta i stvarali umetnička dela, statuete i crteže. Moguće je da su crteži u pećinama u Francuskoj i Španiji, pre otprilike 15 hiljada godina, imali ritualno obeležje, ali nesumnjivo je da se u njima otkriva i izvanredan osećaj za oblik.
Preokret, kada je pasivni čovek sa prostog sakupljanja hrane prešao na aktivnu proizvodnju hrane i od lova i ribolova prešao na zemljoradnju, predstavlja početak novog kamenog doba - neolita. Taj krupan događaj u istoriji čovečanstva odigrao se pre otprilike deset hiljada godina, u vreme kada se ledeni pokrivač u Evropi i Aziji počeo topiti i ustupati mesto šumama i pustinjama. Otkopano je dosta neolitskih naselja. Ti zemljoradnici ostajali bi na jednom mestu sve dok bi zemlja bila rodna i gradili domove. Postepeno su se razvijali jednostavniji zanati, grnčarski, tkalački, drvodeljski, pekli su hleb i kuvali pivo, a u epohi kasnijeg neolita topili su i obrađivali bakar i bronzu. Pojavila su se otkrića, grnčarskog kruga, kolskog točka, čamaca, ali lokalno i neravnomerno. Na primer, američki Indijanci su saznali za kolski točak tek kada su došli belci. Trgovina između pojedinih naselja se veoma razvila. Sve to je uticalo na dalje formiranje jezika. Reči tadašnjih jezika izražavale su potpuno konkretne stvari, i veoma malo apstraktne pojmove. Ipak, bilo je reči za jednostavnije numeričke pojmove i jednostavnije oblike.
Numerički termini, koji izražavaju neke od „najapstraktnijih pojmova koje je u stanju da stvori ljudski um“, kako je rekao Adam Smit, sporo su ulazili u upotrebu.
U početku apstraktni pojmovi se javljaju više kao kvalitativni nego kao kvantitativni termini, npr. neki čovek, umesto jedan čovek. Taj stari kvalitativni način dolazi do izražaja i sada u onim posebnim dvojnim terminima nekih jezika, recimo grčkog i keltskog. Veći brojevi (od jedan) obrazovani su sabiranjem: 3 - sabiranjem 2 i 1, 4 - sabiranjem 2 i 2, 5 - sabiranjem 2 i 3. Evo primera iz nekih australijskih plemena:
Razvitak zanatstva i trgovine pomogao je kristalizaciji pojma broja. Brojevi su grupisani i objedinjavani, obično korištenjem prstiju jedne ili obe ruke. To je u početku dovodilo do računa sa osnovom pet, zatim sa osnovom deset, i ređe sa osnovom dvadeset. Od 307 brojnih sistema prvobitnih američkih naroda koje je proučavao Ils (W. C. Eels), 146 su bili desetični, 106 petični, petično-desetični, dvadesetični i petično-dvadesetični. Najkarakterističniji oblik sistema sa osnovom dvadeset postojao je kod Maja u Meksiku i kod Kelta u Evropi.
Brojevi su zapisivani pomoću snopova, zareza na štapovima, čvorova na konopcima, kamenčića ili školjaka složenih po pet na gomilu. Najstariji primer korišćenja raboša (komad drveta na kojem su nepismeni urezivali brojke i druge znake) pripada epohi paleolita. U Vestonici (Moravska) otkrivena je 1937. žbica mladog vuka, dužine oko 17 cm, sa 55 dubokih zareza. Prvih dvadeset pet zareza raspoređeni su u grupe po pet, zatim sledi zarez dvostruke dužine kojim se završava taj red, a zatim novim zarezom dvostruke dužine počinje novi red zareza (Illustrated London News, Oct. 2. 1957. - Isis, sveska 28 (1938). str. 462–463.).
Dakle, račun nije nastao iz računanja na prstima, kako se ranije tumačilo, na primer kod Jakoba Grima. Računanje prstima, peticama i deseticama, pojavilo se tek na izvesnom stepenu društvenog razvitka. Međutim, kada je došlo do toga, postalo je moguće izražavanje brojevnim sistemima, čime je omogućeno formiranje većih brojeva. Tako je nastajao primitivan tip aritmetike.
Četrnaest je izražavano kao 10+4, a ponekad kao 15-1. Množenje je nastalo kada se 20 počelo izražavati ne kao 10+10, nego kao 2x10. Takve binarne operacije primenjivane su tokom više hiljada godina i predstavljale su neku sredinu između sabiranja i množenja, a posebno su korišćene u Egiptu[25] i u doarijskoj kulturi Mohendžo-Daro na Indu. Deljenje je nastalo tako što se 10 počelo izražavati kao „polovina tela“, dok je primena razlomaka bila veoma retka pojava (sem u Egiptu). Na primer, u severnoameričkim plemenima je poznat samo mali broj slučajeva primene razlomaka, i po pravilu je to razlomak 1/2, mada se ponekad nailazi i na 1/3 i 1/4. (Miler (G. A. Miler) je skrenuo pažnju na to da reči , , , što na engleskom, latinskom i francuskom jeziku znači polovina, nisu u direktnoj vezi sa rečima tih istih jezika koje znače dva (). Slično je sa srpskim jezikom. To ukazuje na činjenicu da je pojam 1/2 nastao nezavisno od pojma celog broja. Videti Nat. Math. Magazine 13 (1939), 272.)
Na engleskom je Dirk J. Strojk izložio nastanak i razvitak računa uopšte, a posebno brojnih sistema i u vezi sa tim razvitak pojma prirodnog broja (v. Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics, Dover Publications, Inc. New York, 1966). Na ruskom jeziku, u to vreme, isti krug problema je veoma iscrpno i kompaktno obrađen u članku I. G. Bašmakove i A. P. Juškeviča. Pregled istorijskog razvitka realnog broja na srpskohrvatskom jeziku dat je u knjizi Milenka Nikolića, Istorijska i naučna evolucija realnog broja i njen pedagoški tretman, kao i u popularnoj knjizi Ivana Bandića, Kako se nekad brojalo i računalo.
Na slikama 1-4, desno, nalaze se primerci interesantnih geometrijskih oblika na grnčariji, tkaninama i pletarskim proizvodima:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
