Stepenovanje

Za ostala značenja, vidi Stepen (razvrstavanje).

Stepenovanje ili potenciranje je matematička binarna operacija, u zapisu a^b. U ovom zapisu a se naziva osnova, a b eksponent. Čita se „a na b-ti stepen“ ili kraće „a na b“, gde je a kardinalni, a b redni (ordinalni) broj; na primer, 5⁷ se čita „pet na sedmi (stepen)“.

Ako je n ∈ ℕ, onda stepen predstavlja osnovu pomnoženu samom sobom n puta:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.}$

Osobine stepenovanja

Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. a^bc znači a^(bc), a ne (a^b)^c.

Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno (2³ = 8 ≠ 3² = 9), niti asocijativno ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq {(a^{b})}^{c}}$.

1. a^c · b^c = (a · b)^c
2. a^b · a^c = a^{b + c}
3. a^b : a^c = a^{b − c} (za a ≠ 0)
4. (a^b)^c = a^{b · c}

Posledica osobine 3 su

• a⁰ = a^{b − b} = a^b : a^b = 1
• a^−b = a^{0 − b} = 1 / a^b

čime se, polazeći od definicije stepenovanja sa eksponentom koji je prirodan (odnosno pozitivan ceo) broj, definiše stepenovanje za svaki celobrojni eksponent.

Stepenovanje sa necelobrojnim eksponentima

Racionalni eksponent

Po definiciji,

${\displaystyle a^{1/b}={\sqrt[{b}]{a}}}$

Neka je eksponent b ∈ ℚ racionalan broj. Tada se može napisati b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, pri čemu je

${\displaystyle a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}}$

Kako parni korenovi negativnih brojeva nisu definisani, to nije definisano ni ${\displaystyle a^{p/q}}$ za parno q i negativno a.

Iracionalni eksponent

Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj. Tada je vrednost a^b definisana samo za a ∈ ℝ⁺, kao granična vrednost

${\displaystyle \lim _{p/q\to b}a^{p/q}}$

stepena a^{p / q} sa racionalnim eksponentima p / q, koji teže ka datom eksponentu b.

Konkretna numerička vrednost računa se preko približnih vrednosti, sa željenom preciznošću eksponenta. Npr, ako je x = a^π, tada je a^3,141 < x < a^3,142.

Stepenovanje kompleksnih brojeva

Glavni članak: Kompleksan broj

Kako se svaki kompleksan broj z ∈ ℂ može zapisati u obliku ${\displaystyle z=\rho e^{i\phi }}$ (videti Ojlerovu formulu) to važi

${\displaystyle z^{x}=(\rho e^{i\phi })^{x}=\rho ^{x}e^{ix\phi }}$.

Stepenovanje matrica

Stepenovanje matrica identično je po definiciji stepenovanju realnih brojeva sa prirodnim eksponentima. Definisano je za kvadratne matrice i prirodan broj kao eksponent.

Inverzne funkcije

Iz stepenovanja se mogu izvesti dve funkcije, u zavisnosti od toga da li je nezavisna promenljiva osnova ili eksponent. Prvi slučaj daje stepenu funkciju (${\displaystyle y=x^{k}}$), a drugi eksponencijalnu funkciju (${\displaystyle y=k^{x}}$).

Inverzna funkcija stepenoj funkciji je korena funkcija (${\displaystyle y={\sqrt[{k}]{x}}}$).

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija (${\displaystyle y=\log _{k}x}$).

Povezano

• e – osnova prirodnog logaritma
• Stepena funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Koren
• Logaritam