Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
a i
b
{\displaystyle b}
realni brojevi ,
i
{\displaystyle i}
Sabiranje , množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:
malo
(
a
+
i
b
)
+
(
x
+
i
y
)
=
(
a
+
x
)
+
(
b
+
y
)
i
{\displaystyle (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,}
(
a
+
i
b
)
(
x
+
i
y
)
=
(
a
x
−
b
y
)
+
(
a
y
+
b
x
)
i
{\displaystyle (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,}
a
+
b
i
x
+
y
i
=
a
x
+
b
y
x
2
+
y
2
+
b
x
−
a
y
x
2
+
y
2
⋅
i
{\displaystyle {\frac {a+bi}{x+yi}}={\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\cdot i}
U kompleksnom broju
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
a
{\displaystyle a}
a
=
R
e
(
z
)
{\displaystyle a=Re(z)}
b
{\displaystyle b}
b
=
I
m
(
z
)
{\displaystyle b=Im(z)}
Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj .
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz
i
{\displaystyle i}
količine , kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog ), itd.
Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine . Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic ). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru . Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
postuliraju ovako:
(
a
,
b
)
+
(
x
,
y
)
=
(
a
+
x
,
b
+
y
)
{\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,}
(
a
,
b
)
⋅
(
x
,
y
)
=
(
a
x
−
b
y
,
a
y
+
b
x
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)}
(
a
,
b
)
(
x
,
y
)
=
(
a
x
+
b
y
x
2
+
y
2
,
b
x
−
a
y
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}
Par
(
0
;
1
)
{\displaystyle (0;1)}
i
{\displaystyle i}
[1]
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
−
1
=
i
2
=
−
1
⋅
−
1
≠
(
−
1
)
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1}
Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
S druge strane, zapis oblika
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
Oba oblika kompleksnog broja
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
z
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=(x,y)}
Skup kompleksnih brojeva
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
Posebno je
0
=
0
+
i
0
{\displaystyle 0=0+i0}
x
=
R
e
(
z
)
{\displaystyle x=\mathrm {Re} (z)}
z
{\displaystyle z}
y
=
I
m
z
{\displaystyle y=\mathrm {Im} z}
z
{\displaystyle z}
Algebarski oblik kompleksnog broja je
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
,
r
≥
0
,
θ
∈
R
{\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }
pri čemu je
r
=∣
z
∣
{\displaystyle r=\mid z\mid }
θ
=
A
R
g
z
{\displaystyle \theta =ARgz}
Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je
z
=
r
∗
e
i
θ
{\displaystyle z=r*e^{i\theta }}
r
≥
0
,
θ
∈
R
{\displaystyle r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }
pri čemu je
r
=∣
z
∣
{\displaystyle r=\mid z\mid }
θ
=
A
R
g
z
{\displaystyle \theta =ARgz}
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.
z
1
=
z
2
↔
(
Re
(
z
1
)
=
Re
(
z
2
)
∧
Im
(
z
1
)
=
Im
(
z
2
)
)
.
{\displaystyle z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}
Konjugirano kompleksni broj broja
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
z
¯
=
x
−
i
y
{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja
z
{\displaystyle z}
r
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
[2]
(
z
1
+
z
2
=
z
2
+
z
1
{\displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}
∀
z
1
,
z
2
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }
komutativnost sabiranja
z
1
+
(
z
2
+
z
3
)
=
(
z
1
+
z
2
)
+
z
3
,
{\displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},}
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }
asocijativnost sabiranja
∃
0
∈
C
z
+
0
=
z
{\displaystyle \exists 0\in \mathbb {C} z+0=z}
∀
z
∈
C
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }
0 (nula) za sabiranje
Kompleksni broj
0
=
(
0
,
0
)
=
0
+
0
i
{\displaystyle 0=(0,0)=0+0i}
(
∀
z
∈
C
)
(
∃
(
−
z
)
∈
C
z
+
(
−
z
)
=
0
{\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0}
Kompleksni broj
−
z
=
(
−
x
,
−
y
)
=
−
x
−
y
i
{\displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}
[3]
z
1
∗
z
2
=
z
2
∗
z
1
{\displaystyle z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}}
∀
z
1
,
z
2
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }
z
1
∗
(
z
2
∗
z
3
)
=
(
z
1
∗
z
2
)
∗
z
3
{\displaystyle z_{1}*(z_{2}*z_{3})=(z_{1}*z_{2})*z_{3}}
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }
∃
1
∈
C
z
∗
1
=
z
{\displaystyle \exists 1\in \mathbb {C} z*1=z}
∀
z
∈
C
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }
1
{\displaystyle 1}
(
∀
z
∈
C
)
(
z
≠
0
)
(
∃
z
′
∈
C
z
∗
(
−
z
′
)
=
1
{\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z')=1}
z
1
∗
(
z
2
+
z
3
)
=
z
1
∗
z
2
+
z
1
∗
z
3
{\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}}
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }
[4]
Realan proizvod dva kompleksna broja
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.
Definicija
Realan proizvod kompleksnih brojeva
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
∘
b
{\displaystyle a\circ b}
a
∘
b
=
1
2
(
a
¯
b
+
a
b
¯
)
{\displaystyle a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})}
Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima
a
=∣
a
∣
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
φ
)
{\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}
b
=∣
b
∣
(
c
o
s
ψ
+
i
s
i
n
ψ
)
{\displaystyle b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )}
a
∘
b
=∣
a
∣∣
b
∣
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
ψ
)
=∣
O
A
∣∣
A
B
∣
c
o
s
A
O
B
^
{\displaystyle a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}}
Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja
a
∘
a
=∣
a
∣
2
{\displaystyle a\circ a=\mid a\mid ^{2}}
a
∘
b
=
b
∘
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
a
∘
b
¯
=
a
∘
b
{\displaystyle {\overline {a\circ b}}=a\circ b}
(
α
a
)
∘
b
=
α
(
a
∘
b
)
=
a
∘
(
α
b
)
{\displaystyle (\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)}
(
a
z
)
)
b
z
)
=∣
z
∣
2
(
a
∘
b
)
{\displaystyle (az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)}
a
∘
b
=
0
<=>
O
A
⊥
O
B
{\displaystyle a\circ b=0<=>OA\perp OB}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Realan proizvod kompleksnih brojeva
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
O
{\displaystyle O}
A
B
{\displaystyle AB}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Tačka
M
{\displaystyle M}
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
O
{\displaystyle O}
M
{\displaystyle M}
r
=
a
−
b
2
=
∣
a
−
b
∣
2
{\displaystyle r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}}
O
M
2
−
r
2
=∣
a
+
b
2
∣
−
∣
a
−
b
2
∣=
(
a
+
b
)
(
a
¯
+
b
¯
4
−
(
a
−
b
)
(
a
¯
−
b
¯
)
4
=
a
∘
b
{\displaystyle OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b}
Neka su tačke
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
D
{\displaystyle D}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
A
B
⊥
C
D
{\displaystyle AB\perp CD}
(
a
+
b
)
∘
(
c
+
d
)
=
0
{\displaystyle (a+b)\circ (c+d)=0}
b
−
a
d
−
c
∈
i
R
{
0
}
{\displaystyle {\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
R
e
(
b
−
a
d
−
c
)
=
0
{\displaystyle Re({\frac {b-a}{d-c}})=0}
Središte kružnice opisane oko trougla
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
H
{\displaystyle H}
h
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle h=a+b+c}
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.
Definicija Kompleksan broj
a
×
b
=
a
¯
b
−
a
b
¯
2
{\displaystyle a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Neka su
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
a
=∣
a
∣
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
φ
)
{\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}
a
=∣
b
∣
(
c
o
s
ψ
+
i
s
i
n
ψ
)
{\displaystyle a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )}
∣
a
×
b
∣=∣
a
∣∣
b
∣
s
i
n
(
φ
−
ψ
)
=∣
O
A
∣∣
A
B
∣
s
i
n
A
O
B
^
=
2
P
A
O
B
{\displaystyle \mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}}
Neka su
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
a
×
b
¯
=
−
a
×
b
{\displaystyle {\overline {a\times b}}=-a\times b}
a
×
b
=
0
<=>
a
=
0
∨
b
=
0
∨
a
=
λ
b
{\displaystyle a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b}
λ
∈
R
{
0
}
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
a
×
b
=
−
b
×
a
{\displaystyle a\times b=-b\times a}
α
(
a
×
b
)
=
(
α
a
)
×
b
=
a
×
(
α
b
)
{\displaystyle \alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)}
∀
α
∈
R
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }
Ako su
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
O
(
0
)
{\displaystyle O(0)}
a
×
b
=
0
{\displaystyle a\times b=0}
O
{\displaystyle O}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Neka su
A
(
a
{\displaystyle A(a}
B
(
b
{\displaystyle B(b}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
×
b
=
{
2
i
P
A
O
B
z
a
t
r
o
u
g
a
o
A
O
B
p
o
z
i
t
i
v
n
o
o
r
i
j
e
n
t
i
s
a
n
−
2
i
P
A
O
B
z
a
t
r
o
u
g
a
o
A
O
B
n
e
g
a
t
i
v
n
o
o
r
i
j
e
n
t
i
s
a
n
{\displaystyle a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}}
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
C
(
c
)
{\displaystyle C(c)}
P
A
B
C
=
{
1
2
(
a
×
b
+
b
×
c
+
c
×
a
)
a
k
o
j
e
A
B
C
p
o
z
i
t
i
v
n
o
o
r
j
e
n
t
i
s
a
n
1
2
(
a
×
b
+
b
×
c
+
c
×
a
)
a
k
o
j
e
A
B
C
n
e
g
a
t
i
v
n
o
o
r
j
e
n
t
i
s
a
n
{\displaystyle P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orjentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orjentisan\end{cases}}}
Neka su
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
C
(
c
)
{\displaystyle C(c)}
Tačke
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
(
b
−
a
)
×
(
c
−
a
)
=
0
{\displaystyle (b-a)\times (c-a)=0}
a
×
b
+
b
×
c
+
c
×
a
=
0
{\displaystyle a\times b+b\times c+c\times a=0}
Neka su
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
C
(
c
)
{\displaystyle C(c)}
D
(
d
)
{\displaystyle D(d)}
A
B
∥
C
D
{\displaystyle AB\parallel CD}
(
b
−
a
)
×
(
d
−
c
)
=
0
{\displaystyle (b-a)\times (d-c)=0}
z
1
z
2
=
x
1
+
i
y
1
x
2
+
i
y
2
⋅
x
2
−
i
y
2
x
2
−
i
y
2
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
+
i
y
1
x
2
−
x
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
,
za
z
2
≠
0
{\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0}
U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za
∀
z
∈
C
)
(
z
≠
0
)
∃
z
′
∈
C
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C} }
Neka je
z
=
x
+
y
i
≠
0
{\displaystyle z=x+yi\neq 0}
x
2
+
y
2
≠
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\neq 0}
z
′
=
x
x
2
+
y
2
+
−
y
x
2
+
y
2
i
{\displaystyle z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}
1
z
=
z
¯
z
z
¯
=
z
¯
x
2
+
y
2
=
x
x
2
+
y
2
−
y
x
2
+
y
2
i
.
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}
imamo
z
′
∗
z
=
z
∗
z
′
=
1
{\displaystyle z'*z=z*z'=1}
z
′
=
z
−
1
=
1
z
{\displaystyle z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}}
z
n
=
r
n
(
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
)
=
r
n
e
i
n
θ
{\displaystyle z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
z
m
z
n
=
z
m
+
n
{\displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}
z
1
n
∗
z
2
n
=
(
z
1
z
2
)
n
{\displaystyle z_{1}^{n}*z_{2}^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}
(
z
m
)
n
=
z
m
n
{\displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}
z
n
=
{
u
0
,
u
1
.
.
.
u
n
}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
gdje je
u
k
=
r
n
(
c
o
s
r
n
n
+
i
s
i
n
θ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})}
k
=
0
,
1
,
.
.
.
(
n
−
1
)
{\displaystyle k=0,1,...(n-1)}
u
k
=
r
n
e
i
(
θ
+
2
k
π
)
/
2
{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}}
k
=
0
,
1
,
.
.
.
(
n
−
1
)
{\displaystyle k=0,1,...(n-1)}
i
=
1
2
2
+
i
1
2
2
=
2
2
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način
i
=
(
a
+
b
i
)
2
{\displaystyle i=(a+bi)^{2}\!}
i
=
a
2
+
2
a
b
i
−
b
2
.
{\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!}
Dobijamo dvije jednačine
{
2
a
b
=
1
a
2
−
b
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}
čija su rješenja
a
=
b
=
±
1
2
.
{\displaystyle a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}
Izbor glavnog korjena daje
a
=
b
=
1
2
.
{\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}
Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule
i
=
cos
(
π
2
)
+
i
sin
(
π
2
)
{\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}
i
=
(
cos
(
π
2
)
+
i
sin
(
π
2
)
)
1
2
=
cos
(
π
4
)
+
i
sin
(
π
4
)
=
1
2
+
i
(
1
2
)
=
1
2
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}}
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
r
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}
[9] Kvadrat apsolutne vrijednosti je
|
z
|
2
=
z
z
¯
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}
φ
=
arg
(
z
)
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
indeterminate
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
Iz trigonometrijskih identiteta
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
=
cos
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}
cos
(
a
)
sin
(
b
)
+
sin
(
a
)
cos
(
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}
imamo
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos
(
φ
1
+
φ
2
)
+
i
sin
(
φ
1
+
φ
2
)
)
.
{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}
Primjer
(
2
+
i
)
(
3
+
i
)
=
5
+
5
i
.
{\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}
π
4
=
arctan
1
2
+
arctan
1
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}
Dijeljenje
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
i
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
)
.
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
a
+
b
i
=
ρ
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
{\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,}
ρ
=
a
2
+
b
2
,
ϕ
=
arctan
b
a
{\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
ϕ
=
π
+
arctan
b
a
{\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
ϕ
=
π
2
{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
ϕ
=
−
π
2
{\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}}
b
<
0
{\displaystyle b<0}
ρ
{\displaystyle \rho }
moduo kompleksnog broja, a
ϕ
{\displaystyle \phi }
argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula :
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
=
cos
n
ϕ
+
i
sin
n
ϕ
{\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}
Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva
a
,
b
,
ρ
,
ϕ
{\displaystyle a,b,\rho ,\phi }
crtežu . U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma .
Dužina vektora
ρ
{\displaystyle \rho }
moduo , ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme . Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema:
|
z
|
=
ρ
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula :
e
i
ϕ
=
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
{\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,}
tj.
e
i
n
ϕ
=
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
{\displaystyle e^{in\phi }=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}\,}
pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje . Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa
i
{\displaystyle i}
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
Množenje Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.
Neka su zadani kompleksni brojevi
z
1
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}
z
2
=
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
{\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}
onda je [10]
z
1
z
2
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
=
{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=}
r
1
r
2
(
c
o
s
φ
1
c
o
s
φ
2
+
i
c
o
s
φ
1
s
i
n
φ
2
+
i
c
o
s
φ
2
s
i
n
φ
1
+
i
2
s
i
n
φ
1
s
i
n
φ
2
)
=
{\displaystyle r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=}
r
1
r
2
(
(
c
o
s
φ
1
c
o
s
φ
2
−
s
i
n
φ
1
s
i
n
φ
2
)
+
i
(
c
o
s
φ
1
s
i
n
φ
2
c
o
s
φ
2
s
i
n
φ
1
)
=
{\displaystyle r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1})=}
r
1
r
2
(
c
o
s
(
φ
1
+
φ
2
)
+
i
s
i
n
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2})}
Dijeljenje Neka su zadani kompleksni brojevi
z
1
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}
z
2
=
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
{\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}
z
1
z
2
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
∗
r
1
(
c
o
s
φ
2
−
i
s
i
n
φ
2
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
−
i
s
i
n
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {r_{1}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{r_{2}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}}
[11]
r
1
r
2
∗
c
o
s
φ
1
c
o
s
φ
2
−
i
c
o
s
φ
1
s
i
n
φ
2
+
i
c
o
s
φ
2
s
i
n
φ
1
−
i
2
s
i
n
φ
1
s
i
n
φ
2
c
o
s
2
φ
2
+
s
i
n
2
φ
2
{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}}
r
1
r
2
(
c
o
s
(
φ
1
−
φ
2
)
+
i
s
i
n
(
φ
1
−
φ
2
)
)
=
r
1
r
2
(
c
i
s
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
Neka je
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
r
c
i
s
θ
{\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta }
z
2
=
z
∗
z
{\displaystyle z^{2}=z*z}
z
2
=
r
c
i
s
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
2
c
i
s
(
θ
+
θ
)
=
r
2
c
i
s
2
θ
{\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }
z
3
=
r
2
c
i
s
2
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
3
c
i
s
(
2
θ
+
θ
)
=
r
3
c
i
s
3
θ
{\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }
z
4
=
r
3
c
i
s
3
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
4
c
i
s
(
3
θ
+
θ
)
=
r
4
c
i
s
4
θ
{\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }
Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
=
cos
n
ϕ
+
i
sin
n
ϕ
{\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}
[12]
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf0e60c4d3392df53c167b88044feef6328bd51)
![{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1878321155867694396400b6e51365be407648)
![{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133d35aa2d3bede7963901515ab63b4928ba11f2)
