Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости[1]. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб»[2].
Традиционно различают два основных класса фигурных чисел[3]:
В свою очередь, каждый класс фигурных чисел делится на разновидности, каждая из которых связана с определённой геометрической фигурой: треугольником, квадратом, тетраэдром и т. д.
Существуют также обобщения фигурных чисел на многомерные пространства
. В древности, когда арифметика не отделялась от геометрии, рассматривались ещё несколько видов фигурных чисел, в настоящее время не используемых .В теории чисел и комбинаторике фигурные числа связаны с многими другими классами целых чисел — биномиальными коэффициентами, совершенными числами, числами Мерсенна, Ферма, Фибоначчи, Люка и другими[4].
Для краткости в этом разделе классические многоугольные числа называются просто «многоугольными числами».
Многоугольные числа — это последовательность, указывающая число точек, построенную согласно правилам, которые проиллюстрируем на примере семиугольника. Ряд семиугольных чисел начинается с 1 (базовая точка), затем следует 7, потому что 7 точек образуют правильный семиугольник, 6 точек добавились. Третье число соответствует семиугольнику, у которого стороны содержат уже не по две, а по три точки, причём все точки, построенные на предыдущих шагах, также учитываются. Из рисунка видно, что третья фигура содержит 18 точек, прибавка (Пифагор называл её «гномон») составила 11 точек. Нетрудно видеть, что прибавки образуют арифметическую прогрессию, в которой каждый член на 5 больше, чем предыдущий[5].
Переходя к общему -угольнику, можно заключить, что на каждом шаге число точек, соответствующее фигурному числу, увеличивается как сумма арифметической прогрессии[5] с первым членом 1 и разностью
Общее определение k-угольного числа для любого следует из представленного выше геометрического построения. Его можно сформулировать следующим образом[6]:
-е по порядку k-угольное число есть сумма первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна |
Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда , а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд
Последовательность k-угольных чисел имеет вид[7]:
Общую формулу для явного подсчёта -го по порядку k-угольного числа можно получить, представив его как сумму арифметической прогрессии[8]:
. | (ОКФ) |
В некоторых источниках последовательность фигурных чисел начинают с нуля (например, в A000217):
В этом случае в общей формуле для допускается В данной статье фигурные числа нумеруются начиная с единицы, а расширенный ряд оговаривается особо.
Существует также рекуррентная формула для вычисления многоугольного числа[8]:
При увеличении числа сторон на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха[9]:
, где . | (Никомах) |
Поскольку линейно зависит от справедлива формула:
Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по многоугольных чисел с тем же номером.
Если — простое число, то второе -угольное число, равное , также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым, к чему можно прийти, записав общую формулу в следующем виде:
Доказательство: пусть Если чётно, то фигурное число делится на , а если нечётно, то делится на . В обоих случаях фигурное число оказывается составным[10].
Ряды из обратных многоугольных чисел
сходятся. Их сумма может быть представлена в виде где — постоянная Эйлера — Маскерони, — дигамма-функция[11].
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие видные математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский, Теон Смирнский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение -угольного числа как суммы членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть , а разность равна . Диофант написал большое исследование «О многоугольных числах» (III век н. э.), фрагменты которого дошли до наших дней. Определение Гипсикла приводится в книге Диофанта в следующем виде[12][13]:
Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.
О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.)[14][4].
В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. В сентябре 1636 года[15] Ферма сформулировал в письме Мерсенну теорему, которая сегодня называется теоремой Ферма о многоугольных числах[14]:
Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.
Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме Паскалю (1654) назвал своим главным достижением в математике[15]. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году Лагранж доказал теорему для квадратных чисел (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов), в 1796 году Гаусс дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать Коши в 1813 году[16][17].
Последовательность треугольных чисел:
Свойства[18]:
Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. Никакое треугольное число не может (в десятичной записи) оканчиваться цифрами 2, 4, 7, 9[19].
Обозначим для краткости -е треугольное число: Тогда справедливы рекуррентные формулы:
Формула Баше де Мезириака: общую формулу многоугольного числа можно преобразовать так, что она покажет выражение любого многоугольного числа через треугольные:
. | (Баше) |
Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число):
Из теоремы Ферма о многоугольных числах следует, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел.
Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:
Ряд из чисел, обратных треугольным (телескопический ряд), сходится[20]:
Удвоенные треугольные числа дают последовательность (определённых нижепрямоугольных чисел.
)Натуральное число является треугольным тогда и только тогда, когда число является квадратным[21].
Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел[22]: .
Треугольные числа образуют третью диагональную линию треугольника Паскаля .
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:
Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел[23]:
Сумма квадратного числа с предшествующим ему по номеру треугольным числом даёт пятиугольное число:
Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век)[24].
Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле[25]:
Ряд обратных квадратных чисел сходится[26]:
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел.
Поскольку второе слагаемое справа может быть равно нулю, здесь следует рассматривать расширенный ряд квадратных чисел, начинающийся не с 1, а с нуля (см. A000290).
Пример:
Последовательность пятиугольных чисел имеет вид:
Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными[24]:
Как уже упоминалось выше, пятиугольное число, начиная со 2-го номера, можно представить как сумму квадратного и треугольного числа:
Если в формуле указать для более общую последовательность:
то получатся обобщённые пятиугольные числа:
Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:
Степени в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел[27].
Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами[28]: .
Натуральное число является шестиугольным тогда и только тогда, когда число является натуральным .
Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле :
В десятичной системе -ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число . Это следует из очевидного сравнения: откуда получаем: ■.
Задача 1 (задача Диофанта): дано натуральное число . Определить, является ли оно многоугольным числом и если да, то для каких и . Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел»[29].
Решение задачи сводится к решению «диофантова уравнения» (см. общую формулу):
Перепишем полученное уравнение в виде: .
Знаменатели дробей справа взаимно просты; сумма или разность таких дробей может быть целым числом только если каждая дробь есть целое число[30], поэтому кратно , а кратно .
В результате алгоритм решения приобретает следующую форму[29]:
Тогда все соответствующие оставшимся парам числа равны .
Пример[29]. Пусть .
Ответ: может быть представлено как , то есть как 2-е 105-угольное, 3-е 36-угольное, 5-е 12-угольное и 14-е 14-угольное число.
Задача 2: дано натуральное число требуется определить, является ли оно -угольным числом . В отличие от задачи 1, здесь задано.
Для решения можно использовать тождество Диофанта[31]:
Это тождество получается из приведённой выше общей формулы для и равносильно ей. Из тождества вытекает решение: если есть -угольное число, то есть для некоторого то есть некоторое квадратное число , и обратно. При этом номер находится по формуле[31]:
Пример[31]. Определим, является ли число 10-угольным. Значение здесь равно поэтому ответ утвердительный. следовательно, является 20-м 10-угольным числом.
Степенной ряд, коэффициенты которого — -угольные числа, сходится при :
Выражение справа является производящей функцией для последовательности -угольных чисел[32].
Аппарат производящих функций позволяет применять в теории чисел и комбинаторике методы математического анализа. Приведённая формула также объясняет появление -угольных чисел среди коэффициентов ряда Тэйлора для различных рациональных дробей. Примеры:
и т. д.
Для некоторых классов многоугольных чисел существуют свои, специфические производящие функции. Например, для квадратных треугольных чисел производящая функция имеет следующий вид[33]:
Существует бесконечное количество «многофигурных» (или «мультимногоугольных»)[34] чисел, то есть чисел, которые относятся одновременно к нескольким различным разновидностям фигурных чисел. Например, существуют треугольные числа, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)[35]:
Треугольное число может также быть одновременно
и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует[34].
Квадратное число может быть одновременно
и т. д.
Пятиугольное число может одновременно быть:
и т. д.
Шестиугольное число обязательно является также треугольным; оно также может одновременно быть семиугольным (последовательность A48903 в OEIS):
Возможны и другие сочетания трёх и более разновидностей фигурных чисел. Например, как доказано выше входит в четыре разновидности: Полный список таких сочетаний от треугольных до 16-угольных чисел — см. последовательность A062712 в OEIS.
, числоk | Разновидность фигурных чисел |
Общая формула | n | Сумма обратных значений[36] | Номер OEIS | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||||
3 | треугольное | 1/2(n2 + n) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 2 | A000217 |
4 | квадратное | 1/2(2n2 − 0n) = n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 2/6 | A000290 |
5 | пятиугольное | 1/2(3n2 − n) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | A000326 | |
6 | шестиугольное | 1/2(4n2 − 2n) | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | 2 ln 2 | A000384 |
7 | семиугольное | 1/2(5n2 − 3n) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | A000566 | |
8 | восьмиугольное | 1/2(6n2 − 4n) | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | 3/4 ln 3 + √3/12 | A000567 |
9 | девятиугольное | 1/2(7n2 − 5n) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | |
A001106 A244646 |
10 | десятиугольное | 1/2(8n2 − 6n) | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | ln 2 + /6 | A001107 |
11 | 11-угольное | 1/2(9n2 − 7n) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | A051682 | |
12 | 12-угольное | 1/2(10n2 − 8n) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | A051624 | |
13 | 13-угольное | 1/2(11n2 − 9n) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | A051865 | |
14 | 14-угольное | 1/2(12n2 − 10n) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | 2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + √3/10 | A051866 |
15 | 15-угольное | 1/2(13n2 − 11n) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | A051867 | |
16 | 16-угольное | 1/2(14n2 − 12n) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | A051868 | |
17 | 17-угольное | 1/2(15n2 − 13n) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | A051869 | |
18 | 18-угольное | 1/2(16n2 − 14n) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | 4/7 ln 2 − √2/14 ln (3 − 2√2) + (1 + √2)/14 | A051870 |
19 | 19-угольное | 1/2(17n2 − 15n) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | A051871 | |
20 | двадцатиугольное | 1/2(18n2 − 16n) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | A051872 | |
21 | 21-угольное | 1/2(19n2 − 17n) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | A051873 | |
… | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
1000 | 1000-угольное | 1/2(998n2 − 996n) | 1 | 1000 | 2997 | 5992 | 9985 | 14976 | 20965 | 27952 | 35937 | 44920 | A195163 | |
10000 | 10000-угольное | 1/2(9998n2 − 9996n) | 1 | 10000 | 29997 | 59992 | 99985 | 149976 | 209965 | 279952 | 359937 | 449920 | A167149 |
Центрированные -угольные числа () — это класс фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный k-угольник с точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои -угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)[37].
Примеры построения центрированных многоугольных чисел:
Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: (например, центрированные квадратные числа, для которых образуют последовательность: ) Этот ряд можно записать как , откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел (см. выше ). Следовательно, каждая последовательность центрированных -угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как , где — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс , порождающий ряд для них имеет вид: [38]
Из приведённой выше формулы для треугольных чисел можно выразить общую формулу для -го центрированного -угольного числа [38]:
(ОЦФ) |
Производящая функция для центрированных многоугольных чисел имеет вид[39]:
-е по порядку центрированное треугольное число задаётся формулой:
Следствие (при ): .
Первые элементы последовательности центрированных треугольных чисел:
1 | 5 | 13 | 25 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
-е по порядку центрированное 4-угольное (квадратное) число задаётся формулой:
Первые элементы последовательности центрированных квадратных чисел:
-е по порядку центрированное пятиугольное число задаётся формулой:
Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:
Чётность центрированных пятиугольных чисел меняется по правилу: чётное-чётное-нечётное-нечётное, и последняя десятичная цифра меняется в цикле: 6-6-1-1.
Некоторые центрированные пятиугольные числа являются простыми[10]: 31, 181, 331, 391, 601 . . . (последовательность A145838 в OEIS).
-е по порядку центрированное шестиугольное число задаётся формулой:
Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:
-е по порядку центрированное семиугольное число задаётся формулой . Его можно также вычислить умножением треугольного числа на 7 с добавлением 1.
Несколько первых центрированных семиугольных чисел:
Чётность центрированных семиугольных чисел меняется в цикле нечётный-чётный-чётный-нечётный.
Некоторые центрированные семиугольные числа являются простыми[10]:
Существуют также центрированные семиугольные числа, входящие в пары простых чисел-близнецов:
-е по порядку центрированное восьмиугольное число задаётся формулой .
Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:
-е по порядку центрированное девятиугольное число определяется общей формулой .
Умножая -ое треугольное число на 9 и добавляя 1, получим -ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е и т. д.) также является центрированным девятиугольным числом, и так можно получить все центрированные девятиугольные числа. Формальная запись: .
Первые центрированные девятиугольные числа:
За исключением 6, все чётные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году математик-любитель Фредерик Поллок высказал предположение, которое до сих пор не доказано и не опровергнуто, что любое натуральное число есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел[44].
Из общей формулы следует, что все центрированные девятиугольные числа, кроме 1, составные.
-е по порядку центрированное десятиугольное число задаётся формулой .
Первые представители центрированных десятиугольных чисел:
Подобно другим k-угольным числам, -ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая -ое треугольное число на , в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении.
Часть центрированных десятиугольных чисел являются простыми, например:
Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например: ; для краткости будем называть такие многоугольные числа двойными.
Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:
Другие разновидности пространственных фигурных чисел связаны с классическими многогранниками.
Пирамидальные числа определяются следующим образом:
-е по порядку k-угольное пирамидальное число есть сумма первых плоских фигурных чисел с тем же числом углов :
|
Геометрически пирамидальное число можно представить как пирамиду из слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до (нижний) шаров.
По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду[46]:
. | (ОПФ) |
Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:
Существует трёхмерный аналог формулы Никомаха для пирамидальных чисел[47]:
Производящая функция пирамидальных чисел имеет вид[48]:
Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Согласно приведенному выше общему определению пирамидальных чисел, е по порядку тетраэдральное число определяется как сумма первых треугольных чисел:
Общая формула для тетраэдрального числа: .
Несколько первых тетраэдральных чисел:
Интересно, что пятое число равно сумме всех предыдущих.
Существует трёхмерный аналог формулы Баше де Мезириака, а именно разложение произвольного пирамидального числа по тетраэдральным[47]:
Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами (последовательность A003556 в OEIS):
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов[49][50].
Квадратные пирамидальные числа часто кратко называют просто пирамидальными. Для них пирамида имеет квадратное основание. Начальная последовательность:
Общая формула для квадратного пирамидального числа: .
Квадратное пирамидальное число также выражает общее количество квадратов[51] в квадратной сетке .
Между квадратными и треугольными пирамидальными числами существует следующая зависимость[52]:
Выше было отмечено, что сумма последовательных треугольных чисел есть квадратное число; аналогично сумма последовательных тетраэдральных чисел есть квадратное пирамидальное число[52]: .
По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа» а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:
Предусмотрены также их центрированные варианты.
Кубические числа представляют собой произведение трёх одинаковых натуральных чисел и имеют общий вид Начальные значения:
Кубическое число можно выразить как разность квадратов последовательных треугольных чисел[53]:
Следствие: сумма первых кубических чисел равна квадрату -го треугольного числа:
Разность между двумя соседними кубическими числами есть центрированное шестиугольное число. Следствие: сумма первых центрированных шестиугольных чисел есть кубическое число [53].
Выражение кубического числа через тетраэдральные[53]:
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS), а двум числам нужны все девять: 23 и 239. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)[54].
Производящая функция кубических чисел имеет вид[53]:
Описанные выше трёхмерные конструкции можно обобщить на четыре и более измерений. Аналогом тетраэдральных чисел в -мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными[55]:
Их частным случаем выступают:
Другие разновидности многомерных чисел — гиперкубические: . Четырёхмерные гиперкубические числа называются биквадратными[55].
Некоторые фигурные числа могут принадлежать более чем одной разновидности плоских и/или многомерных чисел, примеры для плоских чисел уже приводились выше[56].
. Для многомерных чисел это довольно редкая ситуацияНикакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно[58][56]:
В 1988 году Ф. Бейкерс и Дж. Топ доказали, что никакое число, кроме 1, не может быть одновременно тетраэдральным и квадратным пирамидальным[60]. Доказано также, что не существует чисел, которые одновременно[56]:
В античные времена, когда арифметика не отделялась от геометрии, пифагорейцы (VI век до н. э.) различали ещё несколько видов фигурных чисел[61].
Комментатор Евклида Д. Д. Мордухай-Болтовской поясняет[63]:
Термины «плоскостное» и «телесное» число являются, вероятно, пережитком более раннего периода математической мысли, когда число и геометрический образ были ещё теснее связаны, когда произведение числа предметов на абстрактное число мыслилось как расположение этих предметов в рядах по предметов в каждом, с заполнением площади прямоугольника. То же следует сказать и о произведении трёх чисел, являющемся, согласно евклидовской терминологии, телесным числом.
В настоящее время простые числа не относят к фигурным, а термины «плоское число» и «телесное число» вышли из употребления[63].
Числа из треугольника Паскаля обнаруживают связь со многими разновидностями фигурных чисел.
На третьей линии в треугольнике Паскаля находятся треугольные числа, а на четвёртой — тетраэдральные числа (см. рисунок). Это объясняется тем, что -е тетраэдральное число есть сумма первых треугольных чисел, которые расположены на третьей линии. Аналогично на пятой линии расположены четырёхмерные пентатопные числа и т. д. Все они, как и прочие числа внутри треугольника Паскаля, являются биномиальными коэффициентами.
Таким образом, все внутренние элементы треугольника Паскаля являются фигурными числами, причём представлены различные их разновидности. Вдоль каждой строки, слева направо, идут гипертетраэдральные числа возрастающей размерности. Известно, что сумма всех чисел -й строки равна отсюда следует, что сумма всех чисел первых строк равна числу Мерсенна Следовательно, число Мерсенна можно представить как сумму гипертетраэдральных чисел[64].
Многие теоремы теории чисел допускают формулировку в терминах фигурных чисел. Например, гипотеза Каталана утверждает, что среди гиперкубических чисел произвольных размерностей только одна пара отличается на 1: (доказано в 2002 году)[65].
Всякое чётное совершенное число является треугольным[66] (и одновременно шестиугольным, причём номер шестиугольного числа есть степень двойки). Такое число не может одновременно быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим числом[67].
Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Эдмунда Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.
Сумма первых центрированных треугольных чисел есть «магическая константа» для магического квадрата размерности . Другие способы получить эту же константу — через треугольное число , или сложить все натуральные числа от до включительно[68].
Число Мерсенна, большее 1, не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но может быть треугольным. Треугольных чисел Мерсенна всего четыре: , их поиск эквивалентен решению в натуральных числах уравнения Рамануджана — Нагеля: . Как оказалось, решение этого уравнения существует только при (последовательность A060728 в OEIS), и при соответствующее число Мерсенна будет тогда треугольным[64].
Число Ферма также не может быть квадратным, кубическим или иным гиперкубическим, но в единственном случае может быть треугольным: . Число Ферма также не может быть тетраэдральным и гипертетраэдральным любой размерности выше 2-й[64].
Среди чисел Фибоначчи имеются только три квадратных числа (0, 1 и 144) и четыре треугольных (1, 3, 21, 55, последовательность A039595 в OEIS). Если повернуть треугольник Паскаля, как показано на рисунке, то числа Фибоначчи можно получить как суммы вдоль восходящих диагоналей; этот факт даёт разложение числа Фибоначчи по гипертетраэдральным числам[69].
Среди чисел Люка квадратных чисел два (1 и 4), а треугольных три (1, 3, 5778)[69].
Числа Каталана выражаются через гипертетраэдральные числа следующим образом[70]:
Ещё один класс чисел, тесно связанных с фигурными — числа Стирлинга второго рода . Этот класс включает все треугольные числа: , а выражение равно 2-му по порядку -мерному гиперкубическому числу . Наконец, всякое -мерное гиперкубическое число разлагается по следующим образом[70]: