Арифметическая прогрессия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая (ра́зностная) прогре́ссия — числовая последовательность вида

${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots \ ,}$

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа ${\displaystyle d}$ (шага, или разности прогрессии — от слова „дифференциация“):

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}$^[1]

Арифметическую прогрессию записывают в виде

${\displaystyle \div \ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n},\ \ldots \ .}$^[2]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой^[3][4]:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. Если каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, то такая прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.

Арифметическая прогрессия, разность которой больше нуля (${\displaystyle d>0}$), является возрастающей. Арифметическая прогрессия, разность которой меньше нуля (${\displaystyle d<0}$), является убывающей. Если разность равна нулю (${\displaystyle d=0}$), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; она будет стационарной. Эти утверждения непосредственно следуют из определения арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером ${\displaystyle n}$ может быть найден по формулам

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ ${\displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}$

где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle d}$ — её разность, ${\displaystyle a_{m}}$ — член арифметической прогрессии с номером ${\displaystyle m}$.

Доказательство формулы общего члена арифметической прогрессии

Пользуясь соотношением ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии, а именно:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}$

${\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}$

${\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}$

Заметив закономерность, делаем предположение, что ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

База индукции ${\displaystyle (n=1)}$ :

${\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при ${\displaystyle n=k}$, то есть ${\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$. Докажем истинность утверждения при ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}$

Итак, утверждение верно и при ${\displaystyle n=k+1}$. Это значит, что ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.■

Графическая интерпретация

Отметим, что в формулах общего члена ${\displaystyle n}$-й член прогрессии есть линейная функция. Поясним это так.

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами ${\displaystyle \left(n;\,a_{n}\right)}$, где ${\displaystyle n}$ — номер (натуральное число), а ${\displaystyle a_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-й член некоторой арифметической прогрессии, то все точки будут принадлежать графику функции, задаваемой формулой:

${\displaystyle y=d\left(x-1\right)+a_{1},}$

где ${\displaystyle d}$ — это разность арифметической прогрессии, а ${\displaystyle a_{1}}$ — её первый член ^[5]. Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle a_{n}}$ являлась линейной функцией (от ${\displaystyle n}$), заданной на множестве натуральных чисел. ^[6]

Доказательство

Необходимость. Пусть ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$, то есть ${\displaystyle a_{n}=nd+a_{1}-d}$. Так как ${\displaystyle f\left(x\right)=ax+b}$ есть линейная функция и ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$, это значит, что ${\displaystyle a=d}$ и ${\displaystyle b=a_{1}-d}$, т. е. ${\displaystyle a_{n}}$ — линейная функция, где ${\displaystyle f\left(n\right)=nd+a_{1}-d}$.

Достаточность. Пусть ${\displaystyle a_{n}}$ есть линейная функция, т. е. ${\displaystyle a_{n}=a\cdot x+b}$. Так как ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle x=n}$, то ${\displaystyle a_{n}=a\cdot n+b}$, тогда ${\displaystyle a_{n+1}=a\cdot \left(n+1\right)+b}$. Рассмотрим ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\left(a\cdot \left(n+1\right)+b\right)-\left(an+b\right)}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a}$, где ${\displaystyle a}$ — величина постоянная. Тогда ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+a}$, а это значит по определению, что ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ — арифметическая прогрессия.■

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. ${\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}\Longleftrightarrow n+m=k+l\quad \vert \;\forall \left(n,\,m,\,k,\,l\in \mathbb {N} \right)}$.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Словесная формулировка:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

Словесно-символьная формулировка: последовательность ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ есть арифметическая прогрессия ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ для любого её элемента выполняется условие

${\displaystyle a_{n}={\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2.}$

Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии

Необходимость.

Поскольку ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арифметическая прогрессия, то для ${\displaystyle n\geqslant 2}$ выполняются соотношения:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}$.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${\displaystyle a_{n}={\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$.

Достаточность.

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}$. Поскольку соотношения верны при всех ${\displaystyle n\geqslant 2}$, с помощью математической индукции покажем, что ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$.

База индукции ${\displaystyle (n=2)}$ :

${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при ${\displaystyle n=k}$, то есть ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$. Докажем истинность утверждения при ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$

Но по предположению индукции следует, что ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$. Получаем, что ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$

Итак, утверждение верно и при ${\displaystyle n=k+1}$. Это значит, что ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$.

Обозначим эти разности через ${\displaystyle d}$. Итак, ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}$, а отсюда имеем ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Поскольку для членов последовательности ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ выполняется соотношение ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$, то это есть арифметическая прогрессия.■

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$ может быть найдена по формулам

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$ , где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n}$ — количество суммируемых членов. Сумма членов арифметической прогрессии равна полусумме первого и ${\displaystyle n}$-го членов, умноженной на число членов.

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)}$ — где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle a_{2}}$ — второй член прогрессии ${\displaystyle ,a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n}$ , где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии, ${\displaystyle n}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{n}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot n}$, если ${\displaystyle n}$ — нечётное натуральное число.

Доказательство

Вывод формулы для вычисления суммы ${\displaystyle n}$ первых членов арифметической прогрессии основан на следующем свойстве: сумма двух членов, равноотстоящих от начала и конца арифметической прогрессии с конечным числом членов ${\displaystyle \div \ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n}\ ,}$ равна сумме её крайних членов. Запишем сумму двумя способами: ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: ${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$ Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}$. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от ${\displaystyle i}$ и равно ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$. В частности, ${\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$. Поскольку таких слагаемых ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$ Третья формула для суммы получается подстановкой ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ вместо ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n}$, так как они все равны между собой.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом ${\displaystyle n}$ выполняется равенство:

${\displaystyle S_{2n}=S_{n}+{\dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: ${\displaystyle S_{k}}$ — сумма ${\displaystyle k}$ первых членов арифметической прогрессии.

Доказательство

1. Очевидно, что ${\displaystyle {\dfrac {S_{2n}}{2n}}-{\dfrac {S_{n}}{n}}={\dfrac {a_{1}+a_{2n}-\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}}={\dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${\displaystyle S_{2n}-2S_{n}=n\cdot (a_{2n}-a_{n}).}$ Прибавим к обеим частям ${\displaystyle S_{n}}$ и получим, что ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+n\cdot (a_{2n}-a_{n}).}$ 2. Покажем, что ${\displaystyle S_{n}+n\cdot (a_{2n}-a_{n})={\dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ Это так, поскольку можно написать верное равенство: ${\displaystyle {\dfrac {S_{3n}}{3n}}-{\dfrac {S_{n}}{n}}={\dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Из него следует, что ${\displaystyle {\dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{\dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}\cdot n.}$ 3. Теперь докажем, что ${\displaystyle a_{2n}-a_{n}={\dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Перепишем последнее как ${\displaystyle a_{2n}={\dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${\displaystyle a_{2n}={\dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии. Значит, действительно ${\displaystyle a_{2n}-a_{n}={\dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ 4. А следовательно, ${\displaystyle S_{n}+n\cdot (a_{2n}-a_{n})={\dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ 5. Тем самым, ${\displaystyle S_{2n}=S_{n}+{\dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ выполняется комплементарное свойство сумм^{[источник не указан 581 день]}:

${\displaystyle {\dfrac {l-m}{k}}\cdot S_{k}+{\dfrac {m-k}{l}}\cdot S_{l}+{\dfrac {k-l}{m}}\cdot S_{m}=0.}$

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от ${\displaystyle n}$ до ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

${\displaystyle S_{m,n}={\dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)}$ , где ${\displaystyle a_{m}}$ — член с номером ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle (m-n+1)}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{m,n}={\dfrac {2a_{n}+d\left(m-n\right)}{2}}\cdot \left(m-n+1\right),}$

где ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии, ${\displaystyle (m-n+1)}$ — количество суммируемых членов.

Произведение членов арифметической прогрессии

Произведением первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ называется произведение от ${\displaystyle a_{1}}$ до ${\displaystyle a_{n}}$, то есть выражение вида ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots \cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1}\cdot a_{n}.}$ Обозначение: ${\displaystyle P_{n}}$.

Свойство произведения:

• ${\displaystyle P_{n}={\dfrac {1}{2^{n}}}\prod \limits _{i=1}^{n}{\left(a_{1}+a_{n}+d\left(2i-\left[n+1\right]\right)\right)}}$.
• Если ${\displaystyle n}$ — нечётное натуральное число и ${\displaystyle n>1}$^[7], то произведение от ${\displaystyle a_{1}}$ до ${\displaystyle a_{n}}$ равно произведению их среднего арифметического и членов, равноотстоящих от него^[8]:${\displaystyle P_{n}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot \prod \limits _{i=1}^{\frac {n-1}{2}}{\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{d}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[2d\right]}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[3d\right]}^{2}\right)}\cdot \ldots \cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[{\frac {n-3}{2}}\cdot d\right]}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[{\frac {n-1}{2}}\cdot d\right]}^{2}\right)}.}$

Число множителей-скобок ${\displaystyle {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}}$ равно ${\displaystyle {\dfrac {n-1}{2}}}$, а в самом произведении ${\displaystyle a_{\frac {n+1}{2}}\cdot \prod \limits _{i=1}^{\frac {n-1}{2}}{\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}}$ их составляет ${\displaystyle {\dfrac {n+1}{2}}}$ «штук».^[9]

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ расходится при ${\displaystyle d\neq 0}$ и сходится при ${\displaystyle d=0}$. Причём

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)}$, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арифметическая прогрессия с разностью ${\displaystyle d}$ и число ${\displaystyle a>0}$. Тогда последовательность вида ${\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots }$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем ${\displaystyle a^{d}}$.

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: ${\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: ${\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то ${\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots }$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения ${\displaystyle q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}$.

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа ${\displaystyle 1,3,6,10,15,\ldots }$ также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию ${\displaystyle 2,3,4,5,\ldots }$. Таким образом, для треугольного числа ${\displaystyle u_{n}}$ с номером ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ имеет место равенство ${\displaystyle u_{n}={\dfrac {n(n+1)}{2}}}$.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Тетраэдральные числа ${\displaystyle 1,4,10,20,35,\ldots }$ образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Если ${\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка ${\displaystyle m}$, то существует многочлен ${\displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}}$, такой, что для всех ${\displaystyle i\in \left\{1,....n\right\}}$ выполняется равенство ${\displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}$^[10]

Примеры

• Натуральный ряд ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots }$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член ${\displaystyle a_{1}=1}$, а разность ${\displaystyle d=1}$. Сумма ${\displaystyle n}$ первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

• ${\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7}$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой ${\displaystyle a_{1}=1}$ и ${\displaystyle d=-2}$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу ${\displaystyle a}$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой ${\displaystyle a_{1}=a}$ и ${\displaystyle d=0}$. В частности, ${\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\ldots }$ есть арифметическая прогрессия с разностью ${\displaystyle d=0}$.

Формула для разности

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${\displaystyle {\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}$.

Сумма чисел от 1 до 100

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

то есть к формуле суммы первых ${\displaystyle n}$ чисел натурального ряда.

См. также

• Геометрическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия